Notes de cours: Logique et Mathématique

« 1 approche générale • Les problèmes centraux de l'épistémologie des mathématiques, ceux auxquels les philosophes n'ont cessé de réfléchir depuis Platon, en passant par Descartes, Leibniz ou Kant, sont les suivants : — comment les mathématiques sont-elles possibles ? — d'où vient leur accord avec le réel ? • Ces deux interrogations peuvent être ramenées à une seule : — quelle est la nature des êtres mathématiques ? En d'autres termes, les mathématiques portent-elles sur une réalité, et si oui, celle-ci est-elle la même que la réalité physique en général ? Et dans la négative, comment expliquer leur correspondance avec cette réalité physique ? 2 position de l'empirisme • Pour l'empirisme, les êtres mathématiques sont de la même nature que la réalité physique.

L'esprit les dériverait de l'expérience sensible par une suite d'abstractions de plus en plus subtiles.

Les mathématiques, comme le montre leur histoire, sont à l'origine des opérations réelles, au sens fort du mot, qui se dématérialisent progressivement. • L'accord des mathématiques avec le réel n'aurait donc rien de surprenant, puisqu'elles en seraient tirées.

En revanche, l'empirisme n'explique pas comment les mathématiques peuvent : — anticiper les résultats de l'expérience sensible, — donner des résultats qui dépassent l'expérience sensible (cf.

les géométries non-euclidiennes), — s'élaborer selon des constructions déductives plus rigoureuses que l'expérience physique et indépendantes d'elle. 3 position du réalisme • Le réalisme mathématique rejoint « l'idéalisme » de Platon pour qui les Idées, les formes, les essences intelligibles, possèdent une plus grande réalité que les êtres individuels et les objets de l'expérience.

Pour les mathématiciens réalistes, les êtres mathématiques possèdent une réalité semblable à celle des Idées platoniciennes, et les théorèmes expriment des propriétés réelles.

Les êtres mathématiques existeraient en dehors de l'esprit avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective. • Le mathématicien et philosophe B.

Russell justifie le réalisme par deux arguments fondamentaux : 1) Tout ce qui peut être pensé possède une réalité ontologique et sa réalité est la condition préalable, non le résultat du fait qu'il soit pensé.

« Les nombres, les dieux homériques, les relations, les chimères et les espaces à quatre dimensions ont tous l'être » ; mais si tout ce qui peut être pensé possède l'être, il faut distinguer l'être et l'exister : « Ce qui n'existe pas doit être quelque chose, ou alors nier son existence n'aurait aucun sens ; nous avons donc besoin du concept d'être, comme ce qui appartient même à ce qui n'existe pas.

» Les dieux homériques, les chimères n'existent pas, mais les nombres, les relations mathématiques existent.

Ainsi la pensée droite (mathématique) est une découverte de ce qui existe. 2) La vérité ne serait qu'une illusion si elle ne consistait pas dans le succès d'une pensée qui saisit un objet existant.

(Cf.

Descartes : « La vérité consiste en l'être, et la fausseté en non-être seulement », « Tout ce qui est vrai est quelque chose.

») • En reconnaissant que les êtres mathématiques possèdent une réalité propre, indépendante de l'esprit qui les pose, le réalisme permet d' « expliquer » philosophiquement l'accord des mathématiques avec la réalité objective.

On peut en effet concevoir les êtres mathématiques comme des Idées (au sens platonicien) informant la réalité physique. • En revanche, il ne permet guère d'expliquer que ces êtres puissent donner prise à des constructions déductives, à moins d'admettre que toute démonstration soit une maïeutique. 4 position du formalisme • Pour le formalisme auquel se rallient la plupart des mathématiciens contemporains, les mathématiques constituent des systèmes axiomatiques.

Il n'existe donc pas d'êtres mathématiques : les propositions mathématiques comme leurs objets sont vides de tout contenu.

Les mathématiques se réduisent à un maniement correct de symboles.

Ainsi donc les objets des mathématiques ne sont pas des objets en soi et la pensée mathématique n'a d'existence que dans les codes symboliques qui la manifestent. • Dans ces conditions, les mathématiques n'ayant affaire à aucun réel, elles n'ont naturellement pas affaire au « réel » de la réalité expérimentale.

Elles n'ont pas besoin pour être vraies que leurs objets soient réels.

Mais dès lors on ne s'explique pas leur accord avec cette réalité expérimentale. • Par ailleurs, le formalisme mathématique a lui-même montré ses limites avec le théorème de Gödel qui assure que dans les systèmes formels satisfaisant aux conditions d'effectivité, il existe des propositions indécidables, c'est-àdire des propositions qui ne sont ni dérivables ni réfutables.

Ce qui signifie que des systèmes formels peuvent produire des énoncés qu'ils sont incapables de démontrer.. »