Les principes à partir desquels s'est construite la science mathématique ne sont-ils que des conventions arbitraires ?

« INTRODUCTION — Par opposition aux sciences expérimentales, dont l'objet est contingent, et qui, par suite, aboutissent à des lois contingentes, les mathématiques ont passé pendant longtemps pour la science du nécessaire : ne partent-elles pas, disait-on, de principes nécessaires et les conséquences qui en sont déduites n'en découlentelles pas rigoureusement ? De nos jours, on tendrait à retourner la comparaison.

Le monde qu'étudient le physicien et le chimiste, s'il n'est pas nécessaire en lui-même, s'impose du moins à eux et ils n'ont pas la faculté d'en créer un autre à leur fantaisie.

Cette faculté est donnée, au contraire, au mathématicien qui se donne l'objet de son étude; dans cette branche, le savant jouirait de la plus entière indépendance et les bases de départ dépendraient de son libre choix. Que faut-il penser de cette conception ? Les principes à partir desquels s'est construite la science mathématique ne sont-ils que des conventions arbitraires ? I.

Si nous prenons la question à la lettre, nous pouvons répondre, sans hésiter, par la négative : ce n'est pas à partir de conventions arbitraires que la science mathématique s'est construite en fait ou historiquement. A.

Sans doute, philosophes et savants discutent sur l'origine des principes, c'est-à-dire des propositions que le mathématicien formule au départ de son étude (définitions, axiomes, postulats) et qui servent de fondement à tout son édifice. a) Les uns croient que ces principes ne peuvent pas être donnés par l'expérience du monde dans lequel nous vivons. Platon les explique par une réminiscence du monde des Idées et la théorie innéiste de Descartes reprend cette opinion sous une forme différente.

Kant en fait des conséquences de la constitution essentielle de nos facultés de connaître et en particulier de la sensibilité. Selon Platon, il existe un autre monde, le monde des Idées ou Formes par rapport auquel le monde sensible n'a pas plus de consistance qu'une ombre.

La connaissance dépasse la simple opinion en ceci qu'elle ne porte pas sur le monde sensible mais s'attache au monde intelligible dont le sensible n'est qu'un vague et pâle reflet.

Le dualisme de Platon est une manière d'échapper au relativisme de Protagoras.

La première raison d'être des Idées c'est d ‘échapper au devenir sensible et de constituer ainsi l'objet d'une connaissance possible.

En affirmant l'existence d'essences intemporelles et immuables, séparées des choses sensibles, Platon rend possible une connaissance nécessaire et universelle.

Connaître c'est alors contempler les Idées.

Mais si l'âme humaine peut abandonner le sensible et se tourner vers les réalités intelligibles, c'est qu'elle a déjà connu ces réalités dans une vie antérieure.

La connaissance est assimilée à une réminiscence de ce monde des Idées que notre âme immortelle a entre vu avant de s'incarner dans un corps. Cette théorie de la réminiscence ressemble à un conte mais elle est à rapprocher de la théorie des idées innées chez Descartes.

Celui-ci, en effet, affirme que les idées vraies sont les idées claires et distinctes que nous trouvons en notre âme avec « leurs vraies et immuables natures », cad qui s'imposent évidemment à nous lorsque, grâce à un doute totalitaire, nous avons réussi à « détacher l'esprit des sens » et à lui rendre sa pureté native.

A l'opposé de l'empirisme, le rationalisme dogmatique affirme que l'esprit humain possède en lui-même toutes les conditions de son savoir a priori, cad antérieurement à toute expérience. Une première solution consiste à affirmer que la raison est une donnée première qui ne doit rien à l'expérience et que l'homme en possède congénitalement les principes.

Toute une tradition philosophique, depuis l'Antiquité grecque, affirme que les principes de la raison existent a priori et indépendamment de l'expérience sensible. C'est ainsi que pour Platon, l'âme les tient d'une existence antérieure à son union au corps.

Pour Platon, l'âme a une existence distincte du corps.

Elle est immortelle, elle est source et principe du mouvement, elle est ce qui anime le corps.

Elle a existé avant d'être enfermée en lui, elle existera après sa disparition.

Avant de s'incarner dans un corps, l'âme a appartenu à un cortège divin, elle a eu connaissance de la vérité dans un monde suprasensible. Pour Descartes aussi la raison est innée et irréformable.

Il voit en elle « la marque de Dieu sur son ouvrage ».

Les principes sont de « vraies et immuables natures » ou « idées innées » et ont été comme gravés dans l'esprit de tout homme par le créateur . b) Au contraire, c'est de l'expérience du monde sensible que, d'après Stuart Mill et les empiristes, l'homme tire toutes ses notions et tous ses principes. B.

Mais personne, au temps où s'est constituée et approfondie la géométrie classique dont la première élaboration remonte à Euclide, n'a jamais eu l'idée que le choix des principes de départ était libre.

Ceux qui les énonçaient avaient bien l'impression de formuler mie loi nécessaire contre laquelle ils ne pouvaient rien et qui s'imposerait toujours à quiconque comprendrait le sens des mots. a) Pour les penseurs de l'école de Platon et pour ceux de celle de Descartes, le fait ne saurait être mis en doute :. »