. Les postulats de la géométrie. En quoi différent-ils des axiomes ? Quelle est leur vraie nature ?

« Les postulats se rapprochent des axiomes en ce que, comme ceux-ci, ils sont de la nature des théorèmes ; ils leur ressemblent encore en ce qu'on peut les tenir pour évidents et qu'il est impossible de les démontrer.

Il importe cependant de les distinguer, car ni leur nature, ni leur rôle lotit particulièrement ne sont.

identiques. A.

Différence du postulat et de l'axiome.

— a) Tandis que l'axiome énonce un rapport entre des grandeurs quelconques, le postulat, porte sur des grandeurs et des formes déterminées.

Tel le postulat dit d'Euclide, à savoir que, dans un plan, par un point pris hors d'une droite on peut toujours mener une parallèle à cette droite et on n'en peut mener qu'une seule.

Le postulat diffère donc de l'axiome par son contenu. b) De lit une différence dans leur rôle.

L'axiome est le principe formel et sous-entendu de toute démonstration.

Le postulat (c'est-à-dire un théorème que le géomètre demande qu'on accepte sans démonstration), à cause de son caractère particulier et défini, n'intervient qu'a un moment donné où il est nécessaire à certaine démonstration.

Ainsi, le postulat précité est un point de départ nécessaire pour démontrer que les trois angles d'un triangle sont égaux à deux droits. c) De là on prétend tirer cette conséquence, — très discutable, d'ailleurs, — à savoir que le postulat peut être nié sans contradiction, tandis que l'axiome s'impose par lui-même avec une nécessité absolue. Il n'y a nulle contradiction, affirme-t-on, à supposer que par un point pris hors d'une droite on ne peut mener aucune parallèle à celle droite, ou encore supposer qu'on peut en mener une infinité (?).

Et de fait, nous avons vu que les géomètres ont, pour ainsi dire, tenu la gageure d'admettre soit l'une soit l'autre de ces suppositions, et ils en ont tiré des géométries parfaitement cohérentes d'un bout à l'autre (géométries non-euclidiennes).

Nous avons dit au prix de quels artifices. B.

— Vraie nature des postulats.

— D'où viennent donc les postulats ? et quelle est l'espèce de nécessité qu'ils possèdent ? a) Ce qui est, certain d'abord, c'est qu'ils ne sont pas de pures données e l'expérience. Sans doute l'expérience nous enseigne que par un point on peut mener une parallèle et une seule à une droite, comme elle nous enseigne que les rayons lumineux cheminent en ligne droite.

Cependant.

il y a une grande différence entre cette vérité physique et ce postulat géométrique.

Si nous observions que les rayons lumineux cheminent en ligne courbe, nous le croirions ; tais il-nous est impossible de croire, d'imaginer, de concevoir que par un point on peut mener plusieurs parallèles à une droite.

Les postulats s'imposent donc à nous par une nécessité qui dépasse l'expérience. b) Il n'est pas moins certain, d'autre part, que les postulats, pas plus que les définitions et les axiomes, ne sont pas de pures créations de l'esprit, des conventions commodes, qui réussissent, comme le prétendent certaines théories modernes, que nous avons discutées plus haut.

c) Selon nous, les postulats, comme les axiomes eux-mêmes, proviennent du concours de l'expérience et de la raison.

Ils sont une conséquence logique, nécessaire du travail de l'esprit sur le concept d'espace, lequel a son point de départ expérimental dans la représentation même de l'espace dans lequel nous vivons. Axiomes et postulats mathématiques. Le raisonnement mathématique est déductif: il est donc pleinement nécessaire, et s'opère selon les lois de notre raison.

Autrement dit, le raisonnement mathématique est basé sur des axiomes .

Ils sont des propositions générales et s'appliquant à toutes les grandeurs; indémontrables, mais exprimant des rapports logiquement nécessaires: les axiomes sont donc évidents, ils s'imposent à notre raison, ils ne sont que l'expression de sa loi essentielle: le principe d'identité, qu'ils traduisent en langage mathématique, (ainsi, deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles).

On admet généralement que les axiomes sont posés à la base même des mathématiques.

En fait, ils interviennent sans cesse et de façon presque inconsciente, dans la démonstration. Des définitions et des axiomes, on a longtemps distingué les postulats; on appelle ainsi des propositions qui, comme les axiomes sont indémontrables, mais que l'on ne peut prendre pour fondement de la démonstration en demandant à l'auditeur s'il les admet: les postulats, en effet, ne sont pas évidents à la raison.

En outre, ils sont spéciaux, et ne s'appliquent qu'à certaines grandeurs.

Ainsi, le postulat d'Euclide déclare que par un point on ne peut mener une parallèle et une seule.

Les postulats, n'étant pas logiquement nécessaires, peuvent être rejetés sans contradiction: certaines géométries telles que celle de Lobatschevski et Reimann, ont refusé le postulat d'Euclide et fondé par là même des géométries non-euclidiennes. Que les postulats, introduisent des affirmations non évidentes et non démontées, semblent enlever à la certitude mathématique, son caractère absolu.

La certitude mathématique demeurera formelle et hypothétique (la seule chose que nous pourrons affirmer, c'est que les conclusions de nos déductions seront vraies que si les principes le sont).

Les mathématiques ne porteront que sur des connexions logiques, idéales; leur vérité ne consistera point dans leur accord avec le réel, mais dans leur cohérence interne. On peut estimer, au contraire, que les postulats ont pour but de nous permettre d'établir une science en accord avec le réel. L'espace d'Euclide nous demande d'admettre un espace à trois dimensions, homogène, isotrope et sans courbure; et cet espace semble contenir et définir notre expérience quotidienne. Aussi, les postulats euclidiens paraissent-ils avec une certaine évidence, non une évidence rationnelle, mais une évidence sensible.

Les postulats sont vérifiés comme des hypothèses relatives à la nature de l'espace réel. Mais, en ce sens, les vérités mathématiques perdront leur caractère de certitude absolue.

On comprend ainsi la phrase d'Einstein: " Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu'elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité". On aperçoit par là même les conditions de la certitude.

Elle ne peut être complète que si tout est produit, crée par l'esprit, mais elle est pour autant hypothétique et formelle. Si, au contraire, l'esprit énonce des affirmations relatives à un réel extérieur à lui, il ne peut parvenir à la certitude totale. Il semble donc que, même en mathématique, l'assimilation du réel par l'esprit soit problématique et ne puisse être complète.

Ce réel semble contenir un principe de résistance, d'hétérogénéité à la raison: de ce fait, il ne peut y avoir de science purement rationnelle et logique.. »