Thème : Limites & Récurrence de Suites

« Correction Type & Analyse - Interrogation Écrite Terminales - Spécialité Mathématiques Thème : Limites & Récurrence de Suites Bilan de l'évaluation globale : 06 / 20 L'intention est bonne et certains calculs d'enchaînement sont entamés, mais la copie souffre de confusions majeures sur la rigueur des justifications (propriétés des limites, théorème des gendarmes, raisonnement par récurrence) ainsi que de nombreuses fautes d'algebre élémentaire. Exercice 1 : Calculs de limites de suites Note : 1,5 / 6 points 1) Limite de un = −2n3 + 3n2 + 3 Méthode : On a une forme indéterminée "∞ − ∞".

Il faut factoriser par le terme de plus haut degré n3. Pour tout n ≥ 1 : un = n3 × (−2 + 3/n + 3/n3) lim (n3) = +∞ lim (3/n) = 0 et lim (3/n3) = 0, donc par somme : lim (−2 + 3/n + 3/n3) = −2 Par produit des limites : lim un = −∞ Analyse copie : Erreur sur le signe final.

La factorisation avait été bien engagée. 2) Limite de un = (5n − n2) / (2n4 − 6n2) Factorisons au numérateur par n2 et au dénominateur par n4 : Pour n ≥ 2 : un = [ n2(5/n − 1) ] / [ n4(2 − 6/n2) ] = [ 5/n − 1 ] / [ n2(2 − 6/n2) ] lim (5/n − 1) = −1 lim (2 − 6/n2) = 2 et lim (n2) = +∞, donc lim [ n2(2 − 6/n2) ] = +∞ Par quotient : lim un = 0 3) Limite de un = (5n − 2n) / 8n On sépare la fraction : un = (5/8)n − (2/8)n = (5/8)n − (1/4)n Rappel de cours : Si −1 < q < 1, alors lim (qn) = 0. Comme −1 < 5/8 < 1 et −1 < 1/4 < 1, on a : lim (5/8)n = 0 et lim (1/4)n = 0. Par différence : lim un = 0 4) Limite de un = 5n2 − 2 sin(2n2 + 1) Pour tout entier n, la fonction sinus est bornée : −1 ≤ sin(2n2 + 1) ≤ 1 En multipliant par −2 : −2 ≤ −2 sin(2n2 + 1) ≤ 2 En ajoutant 5n2 : 5n2 − 2 ≤ un ≤ 5n2 + 2 Or, lim (5n2 − 2) = +∞.

Par le théorème de comparaison : lim un = +∞ Correction Interrogation Écrite - Spécialité Mathématiques Page 1 / 3 5) Limite de un = [ n + (−1)n ] / (n2 − 1) − 2 Pour tout n ≥ 2, on a −1 ≤ (−1)n ≤ 1, d'où :.... »