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LIMITES ET CONTINUITÉ (cours complet et exercices)

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« LIMITES ET CONTINUITÉ I) Limites 1) Quelques limites usuelles n N* , = + n N* , = n N * , = n N*, = = + = , a IR = - , a IR Remarque x <=> x et x . x <=> x et x . 2) Quelques théorèmes sur les limites a) Théorème de majoration Soient f et g deux fonctions définies au voisinage I de . Si x I , g(x) et = 0 alors = l . Remarque Le théorème de majoration reste valable lorsque = + ou , a IR. Exercice d’application Calculer Solution x IR , et .On a , = donc D’après le théorème de majoration = 0 b) Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes Soient f, g et h trois fonctions définies au voisianage I de Si x I g(x) et = = l , l IR alors = l Remarque Le théorème d’encadrement reste valable lorsque = + ou = - ou , a IR. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 2 Exercice d’application Calculer Solution x IR, -1 - 1 2 = = .Donc d’après Le théorème d’encadrement c) Théorème de l’unicité de la limite Si = l alors l est unique. Propriété  Si f est définie en alors = f( ) si et seulement si .  Si f n’est pas définie en alors = l si et seulement si . Exercice d’application Calculer les limites suivantes.   e) Limite et composition de fonctions Si f est définie au voisinage de avec = l et g est définie au voisinage de l alors = . Démonstration Posons t = f(x). gof(x) =g(f(x)) = g(t). (1) Si x donc t = l .(2) D’après (1) et (2) , = . Exercice d’application Calculer . Solution = et = 1 donc = 1. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 3 f) Théorème du changement de variable  =  =  = Démonstration = Soit le changement de variable t = x - . t = x - donc x = . f(x) = f( (1) Si x alors t (2) Donc d’après (1) et (2) = . = et = Soit le changement de variable X = . X = donc x = . f(x) = f( (1) Si x alors X (2) Donc d’après (1) et (2) = . Exercice d’application Calculer les limites suivantes : et Solution Posons X = . Donc x = . Si x alors X = sinX . = = 1 donc = 1 Posons t = x – 3 .Donc x = t + 3. Si x alors t . = . = . = g) Limites des fonctions trigonométriques  = 1  = 1  =  = 0 3) Opérations sur les limites  Cas des formes indéterminéés (FI) , , + , - Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 4  Cas particuliers IR IR , + Remarque  La limite en l’infini d’un polynôme est égale à la limite en l’infini de son monôme le plus haut degré.  La limite en l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exercice d’application Calculer les limites suivantes :        2  3 3 lim 3 x x ; lim 53 2 6 3    x x ; 11 402 3 ( 4) (2 7) lim    x x x ;             3 1 2 lim 3 x x x ;         x x x 3 3 lim ; lim ( 2 ) 2 x x x    ; 2 2 5 (2 5) 3 4 lim    x x x ;              2 2 1 lim 2 2 1 x x x x x ;               x x x 3 1 2 lim ;             5 3 5 4 lim 4 x x x x ;             5 4 lim 6 2 5 x x x x ; 3 2 2 lim 2 2     x x x x x ; Exercice d’applicaion Calculer les limites suivantes : (a) lim x x x 5 4 2 0    (b) lim 4 2 1 3 4     x x x (c) lim ² 4 3 5 1 2     x x x (d) lim 2 1 2 5 2     x x x (e) lim x x x 1 ² 1 0    (f) lim x 2x²  x  3 4) Interprétations gémétriques des limites a) Asymptote horizontale (AH) ou asymptote parllèle à (ox)  Si = a , IR alors y = a est une AH à ( en + .  Si = a , IR alors y = a est une AH à ( en - . b) Asymptote verticale (AV) ou asymptote parllèle à (oy)  Si = IR alors x = a est une AV à ( . c) Asymptote oblique (AO)  Si alors y = ax + b est une AO à ( en + .  Si alors y = ax + b est une AO à ( en - . Cette méthode est utilisée pour montrer que y = ax + b est est une AO à ( . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 5 Propriété1 Soit f une fonction et ( sa courbe représentative . Si = et = a , IR et = b , b IR alors y = ax + b est une AO à ( en + . Cette méthode est utilisée pour déterminer l’asymptote oblique à ( . Remarque Cette propriété reste valable lorsque x . On aura y = ax + b est une AO à ( en - . Propriété2  Si f(x) = ax + b + g(x) et = 0 alors y = ax + b est une AO à ( en + .  Si f(x) = ax + b + g(x) et = c alors y = ax + b + c est une AO à ( en + . Cette propriété reste valable lorsque x . On aura respectivement y = ax + b est une AO à ( en et y = ax + b + c est une AO à ( en - . Exercice d’application 1) Soit f(x) = . Déterminer et montrer que x = - 1 est une AV à . 2) Soit g(x) = . a) Montrer que y = 0 est une AH à ( en - . b) Montrer que y = 4x est une AO à ( en + . Solution 1) f(x) existe ssi x + 1 . x + 1 => x d’où = ]- 1 ; + . = = - donc x = -1 est une AV à . 2) g(x) existe ssi 4 . Or x IR 4 donc = IR . + 2x = = = D’où = 0. Par conséquent y = 0 est une AH à ( en - . = = = donc Par conséquent y = 4x est une AO à ( en + . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 6 d) Branche parabolique de direction (oy) Si = et = alors ( admet une branche parabolique de direction (oy) en + . Remarque Cette propriété reste valable lorsque e) Branche pparabolique de direction (ox) Si = et = alors ( admet une branche parabolique de direction (ox) en + . Remarque Cette propriété reste valable lorsque x . f) Branche parabolique de direction y = ax Si = et = , IR et = alors ( admet une branche parabolique de direction y = ax en + . Remarque Cette propriété reste valable lorsque x . g) Définition  Etudier les branches infinies, c’est déterminer les asymptotes et les directions asymptotiques.  On cherche la nature des branches infinies en calculant les limites aux bornes de l’ensemble de définition. Exercice d’application Étudier les branches infinies des courbes représentatives des courbes des fonctions suivantes :  f(x) =  g(x) = –  h(x) = x II) Continuité 1) Définition Soient f une fonction de domaine de définition et un nombre réel.  f est continue en si et seulement si .  Si f n’est pas continue en alors on dit que f est discontinue en . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 7 Exercice d’application Soit f(x) = . Etudier la continuité de f en 5 et en . Solution f(x) existe ssi 1 . Donc = ]- ] . 5 . = = f(5) Donc f est continue en 5. .Donc f est discontinue en 2) Continuité à gauche et continuité à droite  f est continue à gauche en si et seulement si .  f est continue à droite en si et seulement si .  f est continue en si et seulement si à à . Exercice d’application Soit g(x) = 1) Déterminer . 2) Etudier la continuité de f en 0 , en – 1 , en – 2 et en 1 . Solution Si alors g(x) existe ssi x + 1 # 0 . Donc = ]- . alors g(x) existe ssi . Or x IR . Donc = = ] - . 0 . g(0) = . = ( = 1 . = = 1 .Donc g est continue en 0 - 1 n’appartient pas donc g est discontinue en – 1. - 2 . = = - 5 = g(- 2) .Donc g est continue en – 2 . 1 . = ( = 1 + = g(1) . Donc g est continue en . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 8 3) Prolongement par continuité  Soit f une fonction définie sur un voisinage I de .f admet un prolongement par continuité en si et seulement si , l IR .  Si f admet un prolongement par continuité en alors son prolongement par continuité en est la fonction g définie par : Exercice d’application Etudier le prolongement par continuité de f en .  f(x) =  f(x) =  f(x) =  f(x) =  f(x) = Solution 1) f(x) existe ssi x + 2 . x + 2 => x .Donc = ] - . . Donc f admet un prolongement par continuité en -2. Le prolongement par continuité de f en -2 est la fonction g définie par : 2) f(x) existe ssi . => x . .Donc = ] - . n’appartient pas IR donc f n’ admet pas de prolongement par continuité en –1 . 4) Continuité sur un intervalle  Soit f une fonction et I un intervalle donné. f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I. C'est-à-dire pour tout I, on a .  f est continue sur ]a ; b[si et seulement si f est continue en tout point de ]a ; b[ .  f est continue sur [a ; b ]si et seulement si à 5) Continuité de fonctions usuelles  x sin x est continue sur IR x cos x est continue sur IR  x est continue sur IR x est continue sur [0 ; +  x est continue sur IR  x est continue sur IR Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 9 Propriété  Toute fonction polynôme est continue sur IR .  Les fonctions rationnelles et les fonctions racines carrées sont continues sur leurs domaines de définitions. 6) Opérations sur les fonctions continues Si f et g sont continues en alors  f + g est continue en  f g est continue en  7) Compositions de deux fonctions continues Si f est continue en et g est continue en f( alors gof est est continue en .On dit que la composition de deux fonctions continues est une fonction continue . Exercice d’application 1) Soit f(x) = Etudier la continuité de f sur IR. 2) Soit f(x) = x Etudier la continuité de f sur son domaine de définition. 8)Propriété des fonctions continues sur un intervalle L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle .C’est à dire alors f(I) est un intervalle M f est continue sur [a ;b] alors f([a ;b]) = [m ;M] m est le minimum de f sur [a ;b] m M est le maximum f sur [a ;b] a b Théorème L’image d’un intervalle fermé et borné par une fonction continue est un intervalle fermé et borné . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 10 9) Image d’unintervalle par une fonction continue et stritement monotone Lorsqu’une fonction f est continue et strictement monotone sur K, f(K) est un intervalle de même nature que K et ses bornes sont les limites de f aux bornes de K. Le tableau ci-dessous précise f(K) suivant la nature de K et le sens de variation de f. K f(K) f(K) f stictement croissante f strictement décroissante [a ; b] [f(a) ; f(b)] [f(b) ; f(a)] [a ;b[ [f(a) ; ] ] ]a ; b[ ] ] [a ; [f(a) ; ] IR ] ] Exercice d’application Soit f(x) = Déterminer l’image par f des intervalles [- 2 ; 0] et ]1 ; + . Solution f(x) existe ssi x – 1 . = IR\ f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son doomaine de définition IR \ . = IR \ . Donc f est strictement décroissante sur IR \ . alors f([- 2 ; 0]) = [f(0) ;f(-2)] = [-1 ; 1] alors f(]1 ; + )=] ; = ]2 ; + . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 11 10)Théorème des valeurs intermediaries  Si f est continue sur [a ; b] et compris entre f(a) et f(b) alors il existe au moins [a ; b] tel que f( .  Si f est continue sur ]a ; b[ et compris entre et alors il existe au moins ]a ; b[ tel que f( . Exercice d’application Soit f(x) = 2 Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1 ; 2]. Solution f est une fonction polynôme donc elle est continue sur IR en particulier sur [1 ; 2]. f(1) = -4 , f(2) = 62 et -4 donc f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1 ; 2]. 11) Théorème d’existence d’une bijection Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f est une bijection de I vers J = f(I). Exercice d’application Soit f(x) = Montrer que f est une bijection de IR vers un intervalle J à préciser. Solution f est une fonction polynôme donc elle est continue et dérivable sur IR . (1) . = - 8 donc IR. D’où f est strictement croissante sur IR . (2) . D’après (1) et (2), f est une bijection de IR vers f(IR) = IR . 12) Théorème d’existence et d’unicité d’une solution  Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b] et compris entre f(a) et f(b) alors il existe un unique [a ; b] tel que f( .  Si f est continue et strictement monotone sur ]a ; b[ et compris entre et alors il existe un unique ]a ; b[ tel que f( . Exercice d’application Soit f(x) = Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur IR. Solution f est une fonction polynôme donc elle est continue et dérivable sur IR . (1) IR donc f est strictement croissante sur IR (2) . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 12 = , - (3) D’après (1), (2) et (3) l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur IR . 13) Encadrement de la racine Encadrer la racine ,c’est trouver un intervalle ]a ; b[ tel que a . est appelé l’amplitude de l’encadrement.  Méthode de balayage Soit f(x) = .On suppose que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; 1[ . Donner un encadrement de à . Solution x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Signe de f(x) + + + - On a : 0 . f(0,3) et f(0,4) 0 donc 0,3 0,4 . Cet encadrement est un encadrement de . x 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 Signe de f(x) + + + + - f(0,34) . Cet encadrement est un encadrement de . 0,34 est la valeur approchée par défaut de 0,35 est la valeur approchée par excès de  Méthode de dichotomie La méthode de dichotomie consiste à subdiviser l’intervalle ]a ; b[ progressivement par 2 à tel point qu’on ait b – a = Exercice d’application Soit f(x) = - .On suppose que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution . Donner un encadrement de d’amplitude 0,25. Solution . . . . -1 -0,75 -0,5 0 On a : - 1 . f(- 1) = 1 , f(- 0,5) = - 1,3 , f(0) = -3 , f(- 0,75) = - 0,8 donc - 1 Cet encadrement est un encadrement de d’amplitude 0,5 . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 13 - 1 . Cet encadrement est un encadrement de d’amplitude 0,25 . Exercice d’application Soit f la fonction définie par f(x) = . 1) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations 2) Démontrer que f(x) = 0 admet 3 solutions. 3) Donner un encadrement d’amplitude de chacune de ces solutions. 14) Calcul de Soient f une bijection d’un intervalle I vers un intervalle J et sa bijection réciproque de J vers I. Pour calculer I. Exercice d’application Soit f(x) = .On admet que f est une bijection de [0 ; + . Calculer . Solution Résolvons l’équation f(x) = 2 avec x . f(x) = 2 <=> <=> <=> <=>x = 1 et 3 – 1 =2 .Or 1 donc 1 est la solution de l’équation f(x) = 2 . Donc 14) Expression de Soient f une bijection d’un intervalle I vers un intervalle J et sa bijection réciproque de J vers I. Pour déterminer l’expression de I et y J . Exercice d’application Soit f(x) = . On suppose que f est une bijection de ]1 ; . Déterminer . Solution Résolvons l’équation f(x) = y avec x . f(x) = y <=> <=> - y = 0 , = 4(- 4 + y) . n’appartient pas à ]1 ; + . appartient pas à ]1 ; + . Donc x = . D’où = . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 14 15) Bijection réciproque d’une fonction continue et steictement monotone Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle K. On a :  f réalise une bijection de K vers f(K)  est continue sur f(K)  est strictement monotone et a le même sens de variation de f Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 15 EXERCICES Exercice1 Etudier, dans chaque cas, la continuité de f en x0 : 1) 0 ² 1 1; 0 ( ) , 0 (0) 0 x x f x x x f            2) 0 ; 0 ( ) , 0 (0) 2 x x x f x x x f          3)     0 sin( ² 1) , 1; 1 cos 2 ( ) , ;1 , 1 1 (1) 2 x x x x f x x x x f                             Exercice2 Etudier l’existence d’un prolongement par continuité pour les fonctions suivantes, en x0 : 1) f (x) = 1 ─ cos 2x 3x² , x0 = 0. 2) f (x) = cos (πx) 2x ─ 1 , x0 = 1 2 . 3) f (x) = 1 + 3x x² + x , x0 = 0. 4) f (x) = x² + |x| x , x0 = 0. 5) f (x) = (x ─ 2)² x² + x ─ 6 , x0 = 2. Exercice3 Calculer les limites suivantes : 1)   3 2 1 lim 2 3 1 x x x x     2)   3 2 lim 2 3 1 x x x x     3) 1 2 ² 1 lim x ² 3 x x  x x     4) 1 2 lim (1 )² x x   x Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 16 5) 3 1 1 lim x ² 1 x  x   6) 2 1 1 lim x ² 2 x x  x x     7) 1 lim x 2 3 x  x   8) sin lim x 2 1 x x  x   9) 0 1 lim ²sin x x  x       10) lim 1 1 x x x     11) lim ² x x x x    12) cos lim ² x x  x x  13) 0 sin 2 lim x 3 x  x 14) 0 sin 7 lim x tan5 x  x Exercice4 Déterminer, quand x tend vers x0, la limite de la fonction f dans les cas suivants : 1) f : x ↦ x + 2 + 4x + 1 ─ 5 x + x + 2 ─ 4 , x0 = 2. 2) f : x ↦ x² ─ 3x ─ x x² + 2x + 4 , x0 = 0. 3) f : x ↦ sin x (1 ─ sin x) cos x , x0 = π 2 . 4) f : x ↦ 2 cos3 x + 3 cos x ─ 5 sin²x , x0 = 0 Indication : Poser u = cos x Exercice5 1) Etudier les branches infinies des courbes représentatives des fonctions suivantes.  f(x) =  g(x) =  h(x) = x -  r(x) = 2) Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction f dans les cas suivants.  f(x) =  f(x) =  f(x) = a (2 – a) . On discutera suivant les valeurs du nombre réel a. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 17 Exercice6 Dans chacun des cas suivants, déterminer les branches infinies de la courbe( C) . 1)( C) : y = 1 ― 2x ― x3 2) (C) : y = 2x2 x 2 + x ― 3 3)( C ) : y = x 2 ― | x ― 1 | x + 3 4)( C ) : y = x 2 ― 3x 5)( C ) : y = x 2 + 4 1 ― 2x 6)( C ) : y = x sin x 7) (C ) : y = 2 x ― x + 1 8)( C ) : y = 2x3 ― 3x2 ― 4x 2x2 + 3x ― 2 9)( C) : y = x 3 ― x 2 + 5x 2x2 + 3x ― | x3 ― 1 | 10) (C ) : y = x 2 ― 1 ― x 2 + x ― 7 11) (C ) : y = x 2 ― 1 + x 2 + x ― 7 12)( C ) : y = 4x2 ― 3x + 1 + 2x + 1 4 13) (C ) : y = x ― 3 tan x 14)( C) : y = 2x2 ― 5x ― 3 3x2 ― 10x + 3 15) (C ) : y = x 2 + x ― 7 ― x 2 ― 1 2x + 1 16)( C ) : y = x 4 ― 3x2 + 2 ― 2x2 + 5x x ― 2 Exercice7 Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe ( C) . 1)( C ) : y = x + 2 2x ― 3 (D 1 ): x = 3 2 ( D 2 ): y = 2 2)( C ) : y = 2x ― 3 3x ― | x + 1 | (D 1 ): x = 1 2 ( D 2 ): y = 1 2 ( D 3 ): y =1 3) (C ) : y = x 2 + 1 x ― 3 ( D 1 ): x = 3 ( D 2 ): y = 1 2 (D 3 ): y = x + 3 4) ( C ) : y = x 3 + 4x2 + 3 x 2 + 2x ― 1 (D 1 ): x = ― 1 ― 2 ( D 2 ): x = ― 1 + 2 ( D 3 ): y = x + 2 5)( C) : y = 4x2 ― 3x + 1 + x + 1 4 ( D 1 ): y = ― x + 1 ( D 2 ):y = 3x ― 1 2 Exercice8  Déterminer la limite de f en . 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = 4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) = Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 18 7) f(x) = 8) f(x) = 9) f(x) =  Déterminer la limite de f en 0 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = 4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) = 7) f(x) = 8) f(x) = 9) f(x) =  Calculer les limites suivantes 1) 3) 2) 4) Exercice9  Etudier le prolongement par continuité de f en . 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = 4) f(x) = 5 ) f(x) = 6) f(x) =  Montrer que l’équation 2 admet une unique solution [-1 ; 0]. Donner un encadrement de à è .  Monter que l’équation 2 admet une unique solution [0 ; + . Donner un encadrement de à è . Exercice10  Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leurs ensembles de définitions. 1) f(x) = ( 2) g(x) = 3 ) h(x) =  Etudier la continuité de f en .On discutera suivant les valeurs du nombre réel a. 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) =  Soit la fonction g définie par g(x) = 1) Déterminer 2) g est-elle continue en 3 et en -3 ?  Soit la fonction g définie par g(x) = Déterminer a et b pour que la fonction g soit continue sur son domaine de définition. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 19 Exercice11  Déterminer la limite de f en . 1) f(x) = 2) f(x) = 3)f(x) = 4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) =  Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en ? a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) =  Démontrer que l’équation admet une unique solution . Donner un encadrement de d’amplitude 0, 01.  Déterminer les réels A et B pour que la fonction f soit continue en . f(x) = Exercice12  Etudier les limites suivantes en : 1) f(x) = 2) f(x) = x sin 3) f(x) = 4) f(x) =  Soit h(x) = . 1) Déterminer et calculer les limites aux bornes de . 2) Démontrer que la courbe de h admet une asymptote oblique et une asymptote horizontale dont on précisera les équations Exercice13  Etudier la limite de la fonction f aux points 0 x indiqués dans les cas suivants . a) 2 2 0 3 4 1 ( ) 1 2 x x f x en x x x        b) 2 0 f x x x en x ( ) 2 1      c) 2 0 2 1 ( ) 2 4 x x x f x en x x x x         Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 20 d) 0 cos ( ) 2 2 x f x en x x      e) 0 sin ( ) 0 1 cos x x f x en x x    f) 2 0 1 cos 2 ( ) 0 sin 2 x f x en x x    Exercice14 1) Démontrer que pour tout x  1;  : 1 1 2 1 x x    . 2) En déduire : lim x 1 x x  x  et   lim 1 x x  x x  Exercice15  Soit f la fonction sur R définie par :         2 1 ; 1 ( ) 1 1;1 2sin 1 1; x si x f x x si x x si x                  Etudier la continuité de f en -1 et en 1.  Soit la fonction g définie par g(x) = 1) Déterminer . 2) Etudier la continuité de g en 0, - 1 et – 2.  Soit la fonction g définie par g(x) = . Etudier les branches infinies de la courbe représentative de g.  Soit la fonction définie par : Etudier la continue de en  Soit la fonction définie par : 1)Déterminer 2)Etudier la continuité de en et en  Etudier la continuité de f définie sur [0 ; , par f(x) = .  Etudier la continuité de f au point -1 définie par f(x) = Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 21 Exercice16 1)Etudier les branches infinies des fonctions suivantes :  f(x) =  f(x) = 2 2) Etudier les limites suivantes en :  f(x) =  f(x) =  f(x) =  f(x) = Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 22 DÉRIVATION ET ÉTUDES DE FONCTIONS I)Dérivation 1) Notion de nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle K contenant . f est dérivable en ou f admet un nombre dérivé en si et seulement = , l IR . l est appelé le nombre dérivé de f en et noté ). On a alors : = Exercice d’application Soit f(x) = Etudier la dérivabilité de f en – 1. Solution f(- 1) = 1 . . – = 1. f est derivable en – 1 et . 2) Dérivée à gauche et dérivée à droite Soit f une fonction définie sur un intervalle K contenant .  f est dérivable à gauche en ou f admet un nombre dérivé à gauche en si et seulement si , IR . est appelé le nombre dérivé de f à gauche en et noté . On a alors : .  f est dérivable à droite en ou f admet un nombre dérivé à droite en si et seulement si , IR . est appelé le nombre dérivé de f à droite en et noté . On a alors : . Propriété Soit f une fonction définie sur un intervalle K contenant . f est dérivable en si et seulement si f est dérivable à gauche en et f est dérivable à droite en et = . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 23 Exercice d’application Soit f(x) = x f est-elle dérivable en 1 ? Solution f(1) = 0 . = donc f est dérivable à gauche en 1 et = - 1 . – . donc f est dérivable à droite en 1 et = 1 . On a donc f n’est pas dérivable en 1. Exercice d’application Soit la fonction f(x) = . 1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en – 1 et en 0. 2) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 3) Interprétation géométrique du nombre dérivé  Si f est dérivable en alors existe et ( admet une tangente au point d’abscisse L’équation de la tangente en est : y = f( + .  Si f est dérivable à gauche en alors existe et ( admet une demi- tangente à gauche au point d’abscisse L’équation de la demi- tangente à gauche en est : y = f( + avec x .  Si f est dérivable à droite en alors existe et ( admet une demi- tangente à droite au point d’abscisse L’équation de la demi- tangente à droite en est : y = f( + avec x .  Si alors on a deux demi-tangentes de coefficients directeurs différents et le point d’abscisse est un point anguleux de ( .  Si alors ( admet une tangente horizontale au point .  Si = ou = alors ( admet une tangente verticale au point .  Si la tangente en traverse la courbe au point d’abscisse alors est un point d’inflexion de ( .  Si s’annule et change de signe en alors est un point d’inflexion de ( Exercice d’application 1) Soit f(x) = Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 24 Etudier la dérivabilité de f en – 3. 2) Soient f(x) = et ( sa courbe représentative. Etudier si ( admet au point M d’abscisse 2 et au point N d’abscisse 4 une tangente ou deux demitangentes dont vous préciserez les équations respectives. 4) Dérivabilité et continuité a)Propriété Toute fonction dérivable en est continue en .Ce pendant la réciproque n’est pas toujours vraie. Démonstration Soit f une fonction définie sur un intervalle K contenant K , f(x) = f( + (x - f est derivable en = Donc = f( + 0 = f( d’où f est continue en 0 . Contre-exemple : la réciproque n’est pas toujours vraie Soit f(x) = Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. Solution la continuité de f en 0 : f(0) = 0 . = 0 . = 0 , 0 IR Donc f est continue en 0 . la dérivabilité de f en 0 : = . = On a donc f n’est pas dérivable en 0 . Conclusion : la fonction f n’est pas dérivable en 0 mais elle continue en 0 . b)Propriété Toute fonction dérivable sur un intervalle K est continue sur cet intervalle K. c)Dérivabilité sur un intervalle  Soit f une fonction et I un intervalle donné . f est dérivable sur I si et seulement f est dérivable en tout point I.  f est dérivable sur ]a ; b[si et seulement si f est dérivable en tout point de ]a ; b[ . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 25  f est dérivable sur [a ; b ]si et seulement si à 5)Dérivéé des fonctions usuelles Fonction Fonction dérivée Ensemble de dérivabilité k 0 IR n IR ]0 ;+ - IR* - IR* cos x - sin x IR sin x cos x IR tan x 1 + IR\ 6) Dérivée et opérations sur les limites Fonction Fonction dérivée ku k u + v uv n cos u - sin u tan u 1 + vou Exercice d’applicaion 1) Pour chacune des fonctions suivantes déterminer sa fonction dérivée : 2 2 4 1 3 2 ( ) 5 7 f x   x  x  x  ;   5 2 f (x)  x 3x 1 ; ( ) 2 1 3 f x   x  x  ; 3 1 ( )     x x f x ;     2 7 f (x)   2x 3 5x 3 ; 1 1 ( )    x x f x ; 2) Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,I,J). Ecrire une équation de la tangente à C au point d’abscisse a. ( ) 1 6 5 f x  x  x  a = 1 ; 1 1 ( ) 2    x x f x a = 0 ; Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 26 Propriété  Toute fonction polynôme est dérivable sur IR .  Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition .  est dérivable sur I si et selement si f est dérivable sur I et x I .  est dérivable sur I si et selement si f est dérivable sur I et x I . 7) Dérivée d’une fonction composée Soit f une fonction définie sur un intervalle K et g une fonction définie sur un intervalle L contenant f(K).  Si f est dérivable en un élément de K et g dérivable en f( alors gof est dérivable en et on a : .  Si f est dérivable sur K et g dérivable sur L alors gof est dérivable sur K et on a : . Exercice d’application f est définie sur ]- par f(x) = x . Etudier sa dérivabilité. Solution Posons J = ]- . x 1 –x est dérivable sur IR donc sur J .(1) x J , 1 - x et x est dérivable sur ]0 ;+ .(2) Donc d’après (1) et (2) x est dérivable sur J car c’est la composition de deux dérivables sur . x x est dérivable sur IR donc sur J donc x é Dérivabilité de f en 1 : Donc f n’est pas dérivable en 1 et ( admet une tangente verticale au point d’abscisse 1 . 8)Dérivée successive Soit la dérivée d’ordre n de f . On a : n IN* . f(x) = Exercice d’application Soit f(x) = Calculer . Solution f est une fonction rationnelle donc elle est 5 fois dérivable sur IR. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 27 12 24x – 30 = 24 . 9)Dérivée de la fonction réciproque Soit f une fonction dérivable et bijective de I J et la bijection réciproque. f : I J : J I x y = f(x) y x = On a => =>  => = avec FORMULE : = avec Propriété Soit f une fonction dérivable et bijective de I J et la bijection réciproque. f : I J : J I x y = f(x) y x =  est dérivable sur J si et seulement  est dérivable en si et seulement De plus . Exercice d’application Soit f(x) = 1) Montrer que f est une bijection de ]0 ; vers un intervalle J à préciser. 2) est-elle dérivable sur J ? 3) Donner l’expression de . Solution 1) f est continue et dérivable sur IR donc sur ]0 ; . ]0 ; . Donc f est strictement croissante sur ]0 ; . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 28 D’où f est une bijection de]0 ; vers J= ] = ]0 ;1[ . 2) f est dérivable sur ]0 ; et ]0 ; . Don est dérivable sur ]0 ;1[ . 3) L’expression de . On a : = . x ]0 ; et y ]0;1[ . Exprimons sin x et cos x en fonction de y f(x) = y = . y = <=> <=> . <=> = 1 - = 1 – y . <=> . <=> cos x = . On a : cos x = et sin x = . = = donc = . Exercice d’application Soit f(x) = 1) Montrer que f est une bijection de ]0 ; vers un intervalle J à préciser. 2) est-elle dérivable sur J ? 3) Donner l’expression de . 10) Inégalité des accroissements finis (IAF) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle K.S’ils existent deux nombres réels m et M tels que pour tout x élément de K , m M, alors pour tous a et b éléments de K ona : m(b-a) f(b) – f(a) M(b- a). Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle K.S’il existe un nombre réel M tel que pour tout x élément de K, , alors pour tous a et b éléments de K, on a : . Démonstration Démonstration de l’inégalité des accroissements finis Soit g la fonction de K IR définie par g(x) = Mx – f(x) . Soit a . La fonction g est dérivable sur K et K . La fonction g est croissante sur [a ;b] donc g(a) g(b) . g(a) g(b) => Ma – f(a) Mb – f(b) => f(b) – f(a) Mb – Ma => f(b) – f(a) M(b-a). (1) Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 29 Soit h la fonction de K IR définie par h(x) = mx – f(x) . Soit a . La fonction h est dérivable sur K et K . La fonction h est décroissante sur [a ;b] donc h(a) h(b) . h(a) h(b) => ma – f(a) mb – f(b) => mb – ma f(b) – f(a) => m(b- a) f(b) – f(a) (2). D’après (1) et (2) , on a : m(b- a) f(b) – f(a) M(b-a). Démonstration de la propriété Dans le cas particulier où m = - M . O n a : -M(b- a) f(b) – f(a) M(b-a) D’où . Exercice d’application 1) Démontrer que x [0 ; , x tan x . 2) Démontrer que x IR, . 3) Démontrer que x,y IR, . Solution 1) Démontrons que x [0 ; , x tan x . Soit g la fonction définie par g(t) = tan t. g est dérivable sur [0 ; et . t [0 ; , 1 . Soit x [0 ; , en appliquant l’inégalité des accroissements la fonction g sur [0 ; x],on a 1(x- 0) g(x) – g(0) <=> x tan x donc x [0 ; , x tan x . 2) Démontrons que x IR, . Soit g la fonction définie par g(t) = sin t. g est dérivable sur IR et . t IR, . t IR , . Soit x , en appliquant l’inégalité des accroissements à la fonction g sur [0 ; x],on a <=> donc x , . 3) Démontrons que x,y IR, . Soit g la fonction définie par g(t) = sin t. g est dérivable sur IR et . t IR, . t IR , . Soit x,y , en appliquant l’inégalité des accroissements la fonction g sur [x ; y],on a <=> donc x, y , . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 30 Exercice d’application Soit f(x) = . 1) Montrer que pour tout x , . 2) Déduire un encadrement de f(x) – f(2) puis un encadrement de f(x) par deux fonctions affines II) Etude de fonctions 1) Courbe de la fonction réciproque Soit f une bijection de I vers J et sa bijection réciproque. La courbe de f ( et la courbe de ( sont symétriques par rapport à la première bissectrice ( d’équation y = x. 2) Fonction paire Soit f une fonction et son ensemble de définition . f est dite paire lorsque pour tout x élément de On a – x et f(-x) = f(x) . 3) Fonction impaire Soit f une fonction et son ensemble de définition . f est dite impaire lorsque pour tout x élément de On a – x et f(-x) = - f(x) . 4) Centre de symétrie Le plan est muni d’un repère(O, I, J). ( est la représentation graphique d’une fonction f. Pour démontrer que le point A(a ; b) est un centre de symétrie de ( on peut procéder comme suit : 1 er méthode  On détermine la fonction g dont la représentation graphique est l’image de ( par la translation de vecteur , cette fonction g est définie par : g(x) = f(x + a) – b.  On démontre que g est impaire 2eme méthode Le point A(a ; b) est un centre de symétrie de ( si et seulement pour tout x élément de On a 2a – x et f(2a – x) + f(x) = 2b . Exercice d’application Démontrer que le point A(2 ; 3) est un centre de symétrie de la représentation graphique ( de la fonction rationnelle définie par : f(x) = . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 31 Solution La fonction g dont la représentation graphique est l’image de ( par la translation de vecteur (-2 ;- 3) est définie par g(x) = f(x + 2) – 3. On a g(x) = . Montrons que g est impaire = IR* . x <=> x . x <=> - x <=> - x et g(- x) = - g(x). Donc g est impaire d’où A(2 ; 3) est un centre de symétrie de ( . 5) Axe de symétrie Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J). ( est la représentation graphique d’une fonction f. Pour démontrer que la droite ( équation x = a est un axe de symétrie de ( on peut procéder comme suit : 1 er méthode  On détermine la fonction g dont la représentation graphique est l’image de ( par la translation de vecteur , A étant le point de coordonnées A(a ; 0), cette fonction g est définie par : g(x) = f(x + a)  On démontre que g est paire. 2eme méthode La droite ( équation x = a est un axe de symétrie de ( si et seulement pour tout x élément de On a 2a – x et f(2a – x) = f(x) . Exercice d’application Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,I,J). On considère la fonction polynôme f définie par f(x) = - 4x +7. On désigne par ( sa représention graphique. Démontrer que la droite ( équation x = 2 est un axe de symétrie de ( . Solution = IR x IR<=> 2(2) – x = 4 – x IR f(4 – x) = – 4(4 – x) +7 = - 4x +7 = f(x) Donc la droite ( équation x = 2 est un axe de symétrie de ( . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 32 Propriété Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J). ( est la représentation graphique d’une fonction f. La fonction g, dont la représentation graphique est l’image de (  par la symétrie orthogonale d’axe (OI) est définie par : g(x) = - f(x)  par la symétrie orthogonale d’axe (OJ) est définie par : g(x) = f(- x)  par la symétrie centrale de centre O est définie par : g(x) = - f(-x)  par la translation de vecteur est définie par g(x) = f(x – a) + b ou g(x + a) = f(x) + b Remarque  Si g(x) = f( alors g(x) = construction voir Figure1  Si g(x) = alors g(x) = construction voir Figure2 Figure1 y = f(x) y = f(-x) La courbe de g est la réunion des parties des courbes d'équations respectives y = f(x) et y = f(-x) situées dans le demi-plan fermé de frontière(OJ) contenant le point A(1;0) -4 -3 -2 -1 2 3 4 2 3 -1 -2 -3 0 1 1 x y Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 33 Figure2 6) Extremums d’une fonction  La courbe d’une fonction f admet un maximum absolu au point d’abscisse si et seulement si .  La courbe d’une fonction f admet un minimum absolu au point d’abscisse si et seulement si .  La courbe d’une fonction f admet un maximum relatif au point d’abscisse si et seulement si il existe un intervalle I contenu dans .  La courbe d’une fonction f admet un minimum relatif au point d’abscisse si et seulement si il existe un intervalle I contenu dans .  On appelle un extremum un maximum ou un minimum.  On appelle un extremum absolu un maximum absolu ou un minimum absolu.  On appelle un extremum relatif un maximum relatif ou un minimum relatif. Propriété f est une fonction dérivable sur un intervalle K contenant .  f( est un extremum relatif de la fonction f si et seulement si s’annule en en changeant de signe.  Si f admet un extremum relatif en alors . Exercice d’application Soit f(x) = . Déterminer les extremums de f. y = f(x) y= -f(x) La courbe de g est la réunion des parties des courbes d'équations respectives y = f(x) et y = -f(x) situées au dessus de (OJ) -4 -3 -2 -1 2 3 4 2 3 -1 -2 -3 0 1 1 x y Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 34 Solution f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur IR et . 2 est un maximum relatif de f car , f(x) . - 2 est un minimum relatif de f car , - 2 f(x) . x - -1 1 + + O - O + f(x) 2 + - -2 8) Périodicité Soit f une fonction et son ensemble de définition. Soit T un nombre réel strictement positif. On dit que T est une période de f lorsque pour tout x élément de , on a :  x + T (1)  f(x + T) = f(x) (2) Le plus petit réel T strictement positif qui vérifie (1) et ((2) est appelé la période de f. 9) Position relative d’une courbe et de son asymptote ( : y = ax + b Soient f une fonction et ( sa courbe représentative. ( : y = ax + b . Posons g(x) = f(x) –( ax + b).  Si g(x) K, alors ( est au-dessus de ( sur K.  Si g(x) K, alors ( est au-dessous (ou en dessous) de ( sur K.  Si g(x) = 0 K, alors ( et se coupent sur K. 10) Position relative d’une courbe et de sa tangente au point Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle K et un élément de K. O n désigne par ( sa courbe représentative et par (T) la tangente à au point . (T) a pour équation : y = f( + .  Si K, alors ( est au-dessus de (T) sur K. On dit que f est convexe sur K.  Si K, alors ( est au-dessous (ou en dessous) de (T) sur K. On dit que f est concave sur K.  Si s’annule et change de signe en , alors la droite (T) traverse la courbe ( en . On dit que est un point d’inflexion de ( . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 35 PROBLÈME Soit f la fonction définie par : ² ² 1) Déterminer Df, les limites aux bornes et préciser les asymptotes et branches infinies éventuelles. 2) Etudier la dérivabilité de f en 0 et 1; interpréter géométriquement les résultats obtenus. 3) Calculer f (x) là où f est définie, puis dresser le tableau de variation de f. 4) Tracer la courbe de f. 5) Soit h la restriction de f l’intervalle ] ─ ; 0]. a) Montrer que h admet une bijection réciproque h─ 1 dont on précisera l’ensemble de définition, l’ensemble de dérivabilité et le tableau de variation. b) Sans utiliser l’expression de h─ 1 (x) , calculer (h─ 1 ) (2). c) Déterminer explicitement h ─ 1 . d) Tracer la courbe de h─ 1 dans le même repère que celle de f. SOLUTION 1)  existe quel que soit x > 0, car une valeur absolue est toujours positive. Pour x ≤ 0, ─ 2x est positif donc x² ─ 2x est positif et par conséquent, existe. En résumé, f(x) existe pour tout x réel et Df = .  Donc f(x) = .  Donc f(x) = .  (car, pour x < 0, x = ─ ). Or, = = 1. Donc = ─ 1 ─ 1 = ─ 2. = = = = 1. On en conclut que la droite d’équation y = ─ 2x + 1 est asymptote oblique à la courbe de f au voisinage de ─ ∞ .   On en conclut que la courbe de f admet au voisinage de + ∞ une branche parabolique de direction (O, → j ). 2)  lim x0 ─ = lim x0 ─ = lim x0 ─ = lim x0 ─ . Or, lim x0 ─ = « ─ 2 0 ─ » =  Donc lim x0 ─ = lim x0 ─ = . D’où : lim x0 ─ ─ = ─ ∞ lim x0 ─ = ─ ∞ . Ainsi lim x0 ─ = ─ ∞ et par conséquent f n’est pas dérivable à gauche en 0. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 36  lim x0 + = lim x0 + = lim x0 + = 2. Ainsi f est dérivable à droite en 0 et f′d (0) = 2 .  lim x1 ─ = lim x1 ─ = lim x1 ─ = lim x1 ─ = « ─ 4 0 + » = ─ ∞ . f n’est pas dérivable à gauche en 1 . lim x1 + = lim x1 ─ = lim x1 ─ = lim x1 ─ = « 4 0 + » = + ∞ . f n’est pas dérivable à droite en 1 .  Interprétation géométrique des résultats : A gauche du point origine O(0,0), on a un point anguleux : une demi-tangente verticale à gauche et une demitangente de coefficient directeur 2 à droite. Au niveau du point A(1,0), on a un point de rebroussement. 3)  f est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle (à savoir x ─ x et x , cette dernière l’étant comme racine carrée d’une fonction strictement positive et dérivable sur ). Pour tout x < 0, f′(x) = ─ 1 + = ─ 1 + . Or, si x < 0, (x ─ 1) est aussi négatif, ainsi que (fraction à numérateur négatif et à dénominateur positif). Donc f′(x) = ─ 1 + est également négatif.  Si x  , . f est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle (à savoir x 2x et x , cette dernière l’étant comme racine carrée d’une fonction strictement positive et dérivable sur ). Pour x  , f′(x) = 2 + = = . Ainsi f′(x) a même signe que qui est un trinôme négatif à l’extérieur de ses racines c’est-à-dire sur et positif à l’intérieur de ses racines, c’est-à-dire sur .  Si x  , . f est dérivable sur , comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle (à savoir x 2x et x , cette dernière l’étant comme racine carrée d’une fonction strictement positive et dérivable sur ). Pour x  , , f′(x) = 2 + = = . Or, pour x > 1, on a x² > 1, d’où 4x² > 4, donc a fortiori 4x² > 2. f′(x) est donc positif comme fraction dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs. Le tableau suivant résume les variations de f : x ─ ∞ 0 1 f′(x) ─ + ─ + f 1 0 0 Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 37 4) 5) a) D’après l’étude précédente, h est continue et strictement décroissante sur ] ─ ∞ ; 0], donc réalise une bijection de ] ─ ∞ ; 0] vers son image par h, à savoir, cf. tableau de variation, . D’autre part, la dérivée h est strictement négative (donc non nulle) sur , donc h─ 1 est définie et dérivable sur . h─ 1 a le même sens de variation que h, donc est strictement croissante sur . Voici son tableau de variation : x 0 + h ─ 1 0 ― b) Cherchons d’abord l’antécédent de 2. h(x) =2 . . D’après le théorème de dérivation d’une réciproque, (h─ 1 ) ′(2) = 1 h ′( 2 3 ) . Après calcul, on trouve h ─ 1 ) ′(2) = ― 9 4 . c) (h(x) = y et x ) Or, (x = et Notons que 2y + 2 est non nul, puisque y 0. Ainsi h ─ 1 est définie sur par h ─ 1 (y) = ) . d) Voir figure. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 38 Exercice d’application Soit la fonction g définie par g(x) = . On note (C ) sa courbe représentative. 1) Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition. 2) Montrer que g est dérivable et calculer . 3) Dresser le tableau des variations de g. 4)a) Démontrer que la courbe (C ) a un axe de symétrie que l’on déterminera. b) Déterminer l’équation de la tangente (T ) (C ) au point d’abscisse 1. 5) Tracer la courbe (C ) et (T ) dans un repère orthonormé d’unité 1cm. On indiquera et on tracera les asymptotes éventuelles à la courbe (C ). Exercice d’application Soit f la fonction définie par : f(x)= 1 ² 3 6    x x x . On note par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,I,J). 1) Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout x 1 , on ait : f(x)= ax+b+ x 1 c . 2) a) Montrer que la droite (D) :y=x-2 est asymptote oblique à (Cf). a) Préciser les positions de (Cf) et (D). 3) Etudier les variations de f . Tracer (Cf) 4) Montrer que le point I(1 ; -1) est centre de symétrie de (Cf) 5) Montrer que (Cf) admet deux tangentes paralléles à la droite (  ) :y=-3x+1 Calculer les coordonnées de chacun de ces points et écrire l’équation de ces tangentes. Exercice d’application Soit f la fonction définie par : f(x)= x² 1 1) Etudier la parité de f puis calculer lim x f(x) . 2) Montrer que : f(x)-x= ² 1 1    x x . En déduire lim x (f(x)-x). Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 3) Montrer que : f(x)+x= ² 1 1     x x . En déduire lim x (f(x)+x). Conclure 4) a) Etudier la dérivabilité de f en -1 et en +1. a) Etudier les variations de f sur son ensemble de définition 5) Tracer la courbe (Cf) représentant de f dans un repère orthonormé. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 39 EXERCICES Exercice1 1) Démontrer que x, y IR , . 2) Démontrer que x [0 ; , . 3) Démontrer que x [0 ; , 0 4) Etudier la dérivabilité de f en : a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = Exercice 2 Soit f:]0; IR x 1) Montrer que f est bijective de ]0 ; vers un intervalle J à préciser. 2) Déterminer et . 3) Démontrer que est dérivable sur J et que = J. Exercice 3 Soit la fonction f définie sur ]0 ; + telle que f(1) = 0 et = . 1) Montrer que x ]1 ; + , 0 . 2) En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que x , 0 Exercice4 Soit f la fonction définie par : f (x) = 2x² + 2x ─ 3 et C sa représentation graphique. 1°) Etudier f et en faire la représentation graphique. 2°) On désigne par g la restriction de f à 1 , 2         . Montrer que g est une bijection de 1 , 2         vers 7 , 2         . 3°) Soit g─ 1 la bijection réciproque et C ─ 1 sa représentation graphique. a) Tracer C ─ 1 sans déterminer g―1 . b) Déterminer une équation de la tangente à C ─ 1 au point A d’abscisse 9. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 40 c) Déterminer g―1 en donnant l’ensemble de départ, l’ensemble d’arrivée et l’image d’un élément x. d) Déterminer (g―1) ' et retrouver une équation de la tangente à C ─ 1 au point d’abscisse 9. Exercice5 Soit f la fonction définie par : f (x) = 3x + 1 x + 2 et C sa représentation graphique. 1°) Etudier f et tracer C . 2°). Montrer que f est une bijection de R ∖ {─ 2} vers R ∖ {3}. Soit g─ 1 la bijection réciproque et C ─ 1 sa représentation graphique. 3°) a) Tracer C ─ 1 sans déterminer f―1 . b) Déterminer une équation de la tangente à C ─ 1 au point A d’abscisse 2. c) Déterminer f―1 en donnant l’ensemble de départ, l’ensemble d’arrivée et l’image d’un élément x. d) Faire l’étude de f─ 1 , retrouver C ─ 1 et une équation de la tangente à C ─ 1 au point A. Exercice6 Soit f la fonction définie sur [ π 3 ; π ] par : f (x) = 2 cos x ― cos 2x . 1°) Montrer que f admet une fonction réciproque, g, dont on précisera l’ensemble de définition et les propriétés. 2°) Calculer les valeurs de g et de sa fonction dérivée, pour les valeurs ― 2 , ― 1 2 et + 1 de la variable . Exercice7 Soit f l’application de [0; 2 ] vers ℝ définie par : f (y) = y2 + 2y ― 3 . 1°) Montrer que f définit une bijection de [0; 2 ] vers [ ― 3 ; 5 ] et préciser l’application réciproque de cette bijection ; on la notera φ . 2°) Montrer que φ est dérivable sur [― 3; 5] et déterminer sa fonction dérivée. Exercice8 On considère l’application f :] 0; 2 [ → ℝ définie par : f (x) = tan    π  2 ( x ― 1) . 1°) Montrer que f est une bijection de 0;2 sur un intervalle que l’on précisera . 2°) Soit h la bijection réciproque de f . Montrer que h est dérivable sur R et que l’on a : h ' (x) = 2 π(x 2 + 1) . 3°) Pour tout x non nul, on pose : Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 41 φ (x) = h (x) + h    1  x . Calculer φ ' (x) et en déduire que φ est constante sur chacun des intervalles ] ― ; 0 [ et ] 0 ; + [ .Déterminer chacune de ces constantes . Exercice9 Soit f : x ↦ sin2 x et g la restriction de f à [0 ; π 2 ] . 1°) Montrer que g définit une bijection de [0 ; π 2 ] sur un intervalle J à préciser . 2°) Déterminer l’ensemble sur lequel la bijection réciproque g ― 1 est dérivable et démontrer que sa dérivée est la fonction x ↦ 1 2 x ― x 2 . Exercice 10 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 0n note ( sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère Orthonormé d’unité 1 cm. 1) Montrer que f(x) = ax + b + x IR. 2) Montrer que f est dérivable sur IR et calculer sa dérivée. 3) Dresser le tableau des variations de f. 4) Montrer que la droite (D ) d’équation y = x – 3 est une asymptote oblique à ( en + . Etudier les positions relatives de (D ) et de ( . 5) Donner l’équation de la tangente (T ) ( au point d’abscisse 0. Tracer (D ), (T) et la courbe ( . Montrer que la courbe ( a un centre de symétrie. 4) Montrer que l’équation f(x) = 1 a une solution unique dans IR. Donner une valeur approchée de à è è . Exercice 11 Soit la fonction f définie par :   2 f x x x ( ) 1 1    et C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct unité 4cm. 1) Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 1. En déduire les tangentes à C aux points d’abscisses -1 et 1. 2) Dresser le tableau de variation de f . 3) Tracer la courbe C. 4) Justifier que f x( ) 1  exactement deux solutions  et  (    ). Exercice 12 Soit f la fonction définie par : 2 2 1 0 1 ( ) 0 x x si x x f x x si x x x              Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 42 1) a) Déterminer le domaine de définition Df de f , puis calculer les limites aux bornes Df de f . b) Etudier les branches infinies. 2) Etudier la dérivabilité de f en 0. 3) Calculer f x'( ) dans les intervalles où f est dérivable. 4) Tracer la courbe de f et ses asymptotes. 5) Soit g la restriction de f l’intervalle 0; . a) Montrer que g est une bijection de 0; vers un intervalle à préciser. b) Soit 1 g  la réciproque de g . Calculer 1 3 2 g        . En déduire que 1 g  est dérivable en 0 3 2 x  et calculer   ' 1 3 2 g        c) Tracer la courbe de 1 g  dans le même repère. Exercice 13 Le plan est muni d’un repère (O; i; j ). Soit f la fonction définie par : 2 3 3 ( ) 2     x x x f x et (C ) sa courbe représentative 1) a) Déterminer le domaine de définition Df de f et vérifier que: 2 1 ( ) 1     x f x x , x Df b) Calculer les limites aux bornes de Df . 2) Etudier les variations de f et donner son tableau de variation. 3) a) Démontrer que la droite (D) d’équation y  x 1 est une asymptote à (C ). b) Etudier la position de (C ) par rapport l’asymptote oblique (D). 4) Indiquer une équation de l’asymptote verticale (Δ). 5) Montrer que le point I intersection des asymptotes est centre de symétrie de (C ). 6) Tracer (C ) dans le repère (O; i; j ) ainsi que les asymptotes. Exercice 14 On considère la fonction f définie par   2 2 0 ( ) 1 0 x x si x f x x x x x si x             Cf  sa courbe représentative dans un repère ortho normal unité 1 cm. 1) Déterminer le domaine de définition de f puis calculer les limites aux bornes. 2) Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 1. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 43 3) Montrer que f est dérivable sur R 0;1 et puis calculer f x'( ) . 4) Résoudre dans l’intervalle 0;1 l’inéquation 2 2 1 2 0 x x x     . En déduire le signe de f x'( ) sur cet intervalle. 5) Dresser le tableau de f . 6) Etudier les branches infinies de f , on précisera les positions relatives de Cf  et de ses asymptotes éventuelles. 7) Soit g la restriction de f l’intervalle I   1;  . a) Montrer g est une bijection de I vers un intervalle J à préciser. b) Soit 1 g  la réciproque de g . Donner les variation de 1 g  sur J . c) 1 g  est-elle dérivable en 2 ? si oui calculer 1 ( )'(2) g  . Construire Cf et la courbe de 1 g  dans un repère. Exercice 15 Soit la fonction f définie par 1 ( ) cos f x x  sur 0; 2        à valeurs dans 1; . 1) Démontrer que f admet une bijection réciproque 1 f  . 2) Déterminer l’ensemble sur lequel 1 f  est dérivable et démontrer que sa dérivée est   1 2 1 '( ) 1 f x x x    . Exercice 16 Soit la fonction f définie par f x x x ( ) tan 2 2tan   et Cf  sa courbe représentative. 1) Déterminer Df ; justifier que l’ensemble d ‘étude de f peut être réduit l’intervalle 0; 2        . 2) Démontrer que  f x D ,      2 2 2 2 2 2 tan 1 tan 3 tan '( ) 1 tan x x x f x x     . 3) Vérifier que sur 0; 2        , Cf  présente deux branches infinies, dont on précisera la nature. 4) Dresser le tableau de variation de f sur 0; 2        . 5) Tracer Cf  sur l’intervalle  ;  Exercice 17 1) Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f : a) f(x) = ( b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = (1 – x) g) f(x) = h) f(x) = i) f(x) = 2) Dans chacun des cas suivants, préciser l’ensemble de dérivabilité de la fonction f, puis déterminer sa fonction dérivée : a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = 2x f) f(x) = Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 44 Exercice 18 1) Etudier la dérivabilité de f en : a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = x d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) = 2) Soit la fonction g définie par g(x) = Déterminer m pour que la fonction g soit dérivable sur IR. 5) Soit f(x) = . On note ( sa courbe représentative. Déterminer a et b pour que ( passe par A (0 ;4) et admette une tangente en A d’équation y = 4x + 3. Exercice 19 1) Soit f(x) = . a) Préciser les intervalles sur lesquels f est dérivable et calculer sa fonction dérivée. b) Déduire que f détermine une bijection de vers un intervalle J à préciser. 2) Soit g(x) = . a) Préciser les intervalles sur lesquels g est dérivable et calculer sa fonction dérivée. b) Démontrer que g réalise une bijection de [1 ; vers un intervalle J à préciser. c) Démontrer que sa bijection réciproque se définit ainsi : : [1 ; [3 ; x d) Calculer par deux procédés différents. Exercice 20 Soit f la fonction définit par f(x) = 1) Peut-on prolonger f par continuité en 1 et en – 1 ? 2) Montrer que la fonction g restriction de f l’intervalle ]-1 ; 1[ définit une bijection de ]-1 ; 1[ vers un intervalle J à préciser. 3) est-elle dérivable en ? si oui déterminer . 4) Expliciter . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 45 Exercice 21 Soient a et b deux paramètres réels. On définit la fonction f par : f(x) = Déterminer a et b pour que f soit continue et dérivable en . Exercice 22 Soit f la fonction définie par f(x) = 3 .On note ( sa courbe représentative. 1) Déterminer et montrer que f est dérivable sur IR. 2) Déterminer l’équation de la tangente la courbe ( au point d’abscisse . 3) Montrer que f est paire et périodique puis justifier que l’ensemble d’étude de f peut être réduit l’intervalle [0 ; . 4) Donner le tableau de variation de f sur [0 ; . 5) Tracer la courbe ( . Exercice 23 Soit la fonction f définie par f(x) = .On note ( sa courbe représentative. 1) Déterminer son domaine de définition . 2) Etudier la dérivabilité de f sur et déterminer sa fonction dérivée puis dresser le tableau de variation de f. 3) Montrer que la courbe ( admet deux demi-tangentes ( dont on donnera les équations. 4) Déterminer les asymptotes obliques ( à la courbe ( . 5) Etudier la position de ( par rapport à ( . 6) Tracer la courbe ( ). Exercice 24 Soit la fonction g définie par g(x) = 1) Etudier la continuité et la dérivabilité de g en 0 et en 1.Interpréter graphiquement ces résultats 2) Soit h la restriction de g à ]- .Montrer que h est une bijection de ]- vers un intervalle J à préciser. 3) Soit la réciproque de h. est –elle dérivable sur J ? Dresser le tableau de variation de . 4) Montrer que est dérivable en et calculer . 5) Expliciter . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 46 Exercice 25 Etudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes : 1°) f (x) = x6 ― 2 x3 + 1 2°) f (x) = x2 (x ― 1)2 3°) f (x) = | x3 | + | 3x2 ― 4 | 4°) f (x) = 1 4 x 4 ― 2 x2 + 2 5°) f (x) = sup( ― x3 + x2 + 5x , 2 x3 + x) 6°) f (x) = 2x ― 3 3x + 3 7°) f (x) = 2 1 1 x x         8°) f (x) = | x + 1 | ― 2x | x ― 1 | 9°)f (x) = | x2 + x | + 1 | x | + 1 10°) f (x) = x 2 + 4x + 3 x 2 + 6x + 8 11°) f (x) = x 3 x 2 ― 4x + 5 12°) f (x) = ― 3x + 2 x 2 ― 3x + 2 13°) f (x) = ― x 3 x + 1 14°) f (x) = x 1 ― x 1 + x 15°) f (x) = x 1 + x 1 ― x 16°) f (x) = x 2 (x +1) x ― 1 17°) f (x) = x x 2 ― 1 x 2 + 1 18°) f (x) = (1 ― x) 1 + x 19°) f (x) = cos2 x 20°) f (x) = sin x + 3 cos x 21°) 2 cos 3x + 1 22°) f (x) = 3sin 2x + 2cos 3x ― 3 23°) f (x) = cos 3x 1 + cos 2x 24°) f (x) = cos 3x (cos x ― 1) 2 25°) f (x) = cos 3 x (cos x ― 1) 2 26°) f (x) = 1 ― 2sin x 1 + 2sin x 27°) f (x) = cos 2x sin x 28°) f (x) = sin2 x ― 2 cos x 29°) f (x) = x ― sin x 30°) f (x) = sin x + cos x sin 2x Exercice 26 On considère la fonction f définie par : f (x) = x² + 2x + 1 x + 2 1°) a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f. b) Déterminer les limites aux bornes de Df . En déduire queC f admet une asymptote verticale. 2°) a) Montrer qu’il existe des réels a et b tels que f (x) = ax + b x + 2 . En déduire que la droite Δ d’équation , y = x est asymptote oblique à la courbe de f. b) Etudier la position relative de C f et Δ. 3°) Etudier les variations de f. Dresser le tableau de variation de f. 4°) Montrer que le point I(─ 2 ; ─ 2) est centre de symétrie C f . 5°) Soit A le point d’intersection de C f avec l’axe des ordonnées ; donner l’équation de la tangente TA au point A. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 47 6°) Construire la courbe C f dans un repère orthonormé (O, I, J). 7°) Expliquer comment, puis effectuer la construction de la fonction g définie par : g (x) = | f (x) | pour tout x ≠ 2. Exercice 27 Soit la fonction g définie par : g (x) = (x + 2)² ─ | x + 2 | x ─ 1 . 1°) Ecrire g (x) sans la barre de valeur absolue. 2°) Déterminer les limites, les asymptotes et leur position par rapport à C g . 3°) Etudier la continuité et la dérivabilité de g en ─ 2. 4°) Etablir le tableau de variation de g. 5°) Tracer C g . Exercice 28 Soit la fonction f définie par : f (x) = x 3 + x² ─ 2x ─ 3 x² ─ 3 1°) Déterminer le domaine de définition de f, les limites et les asymptotes. Etudier la position relative de C f par rapport à son asymptote oblique. 2°) Montrer que le point I(0 ;1) est centre de symétrie. Déterminer l’équation de la tangente au point I et montrer que I est un point d’inflexion . 3°) Montrer que f '(x) = (x² ─ 1)(x² ─ 6) (x² ─ 3)² ; en déduire le tableau de variation de f. 4°) Tracer C f Exercice 29 On considère la fonction suivante définie par : f (x) = ─ 2x² + 3x x ─ 1 . 1°) Déterminer le domaine de définition de f, puis calculer les limites aux bornes de Df; préciser les asymptotes. 2°) Trouver les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b + c x ─ 1 . En déduire que la droite D d’équation , y = ─ 2x ─ 1 est asymptote oblique la courbe de f. Donner la position relative de D et C . 3°) Montrer que le point I d’intersection de D et de l’asymptote verticale est centre de symétrie C . 4°) Etudier les variations de f, dresser le tableau de variation de f et construire C . 5°) Déduire du graphique précédent la courbe représentative de la fonction g définie par : g (x) = | f (x) | pour tout x ≠ 1. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 48 Exercice 30 Soit la fonction f définie par : f (x) = x 4 ─ 2x² + 1 x 4 + 2x² + 1 1°) Démontrer que f est paire. 2°) Etudier les limites aux bornes de Df . Interpréter les résultats. 3°) Etudier les variations de f. 4°) Démontrer que l’équation f (x) = 1 2 admet une solution unique α dans [0 ; 1]. 5°) Tracer la courbe de f. Exercice 31 On considère la fonction f définie par : f (x) = 2x² + 3x + 1 x + 2 1°) a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f. b) Déterminer les limites aux bornes de Df . En déduire queC f admet une asymptote verticale. 2°) Montrer qu’il existe des réels α, β et γ tels que f (x) = α x + β + γ x + 2 . En déduire que la droite Δ d’équation , y = 2x ─ 1 est asymptote oblique la courbe de f. 3°) Etudier les variations de f. Dresser le tableau de variation de f. 4°) Démontrer que le point I(─ 2 ; ─ 5) est centre de symétrie C f . 5°) Soit A et B les points d’intersection de C f avec l’axe des abscisses ; donner les équations des tangentes TA et TB aux points A et B. 6°) Construire Δ, TA , TB etC f dans un repère orthonormé (O, I, J). 7°) Discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l’équation f (x) = m où est un paramètre réel. Exercice 32 1°) Soit g la fonction définie par : g (x) = 2x3 + 3x² + 1. a) Etudier les variations de g. b) Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution unique α ∈ ] ─ 2; ─ 1,5 [ ; en déduire le signe de g. 2°) On considère la fonction f définie par : f (x) = 1 + x 1 ─ x3 a) Déterminer Df et les limites aux bornes de Df . Préciser les asymptotes. b) Etablir le tableau de variation de f. c) Soit h la restriction de f sur ] 1 ; + [, montrer que h permet de définir une bijection de ] 1 ; + [ vers un intervalle J préciser. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 49 d) Calculer h(2) ; en déduire   1 3 7 h         . e) Construire la courbe de f et la courbe de h─ 1 dans un même repère. Exercice 33 On considère la fonction f définie par : f (x) = ax 3 ─ 4x² + 8x + b (x ─ c)² , où a, b, c sont des réels. 1°) Déterminer a, b, c sachant que la droite (D) : x = 1 est asymptote verticale la courbe de f, que f(0) = ─ 4 et que la courbe admet, au point d’abscisse 2 une tangente parallèle la droite d’équation y = ─ 4x. 2°) Pour la suite, on donne f (x) = x 3 ─ 4x² + 8x ─ 4 (x ─ 1)² . a) Déterminer Df , calculer les limites aux bornes de Df . b) Etudier les variations de f, dresser le tableau de variation de f. c) Montrer que f (x) = x ─ 2 ─ 3 x ─ 1 + 1 (x ─ 1)² . d) En déduire que la droites (D ') d’équation y = x ─ 2 est asymptote oblique la courbe de f. e) Etudier la position relative de (D ') et deC f . 3°) Soit A le point d’intersection de (D) et (D '). Montrer que A est un centre de symétrie à la courbe de f. 4°) Soit B le point d’intersection de C f et de l’axe des ordonnées. Donner une équation de la tangente TB en B. 5°) tracer la courbe de f dans un repère (O, I, J) unité : 2 cm. 6°) Soit g la restriction de f à ] 3 ; + [ . Montrer que g réalise une bijection de ] 3 ; + [ vers un intervalle J préciser. 7°) Construire C 1 g  dans le même repère. 8°) Déduire de l’étude de C f le nombre de racines de l’équation : x 3 ─ (4 + m)x² + 2(4 + m)x ─ 4 ─ m = 0 , Exercice 34 Le plan est rapporté à un repère orthonormé . A . Soit la fonction f de ℝ vers ℝ définie par : f (x) = x 3 ― 4x2 + 8x ― 4 (x ― 1) 2 . 1°) Lorsque f est définie, déterminer a, b, c, réels tels que f (x) = x + a + b x ― 1 + c (x ― 1) 2 2° Etudier la fonction f . 3°) Démontrer que C , courbe représentative de f, admet deux asymptotes, dont l’une est la droite D d’équation y = x ― 2 . Préciser la position de C par rapport à D, et les coordonnées de leur point commun. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 50 4°) Construire la courbe C . B . En utilisant la courbe C , déterminer, suivant les valeurs de m, paramètre réel, le nombre et le signe des solutions réelles de chaque équation : x 3 ― (4 + m) x2 + 2(4 + m) x ― 4 ― m = 0, sin3 u ― (4 + m) sin2 u + 2(4 + m) sin u ― 4 ― m = 0 . (inconnue u telle que: ― π ≤ u < + π ) Exercice 35 Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x) = x + | 4x2 ― 1 | . Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1°) Etudier la continuité de f . 2°) Etudier la dérivabilité de f . Calculer sa dérivée sur chaque intervalle où f est dérivable . 3°) Démontrer les équivalences : 4x2 ― 1 + 4x < 0 ⇔ x ∈ ] ― ; ― 1 2 ] et 1 ― 4x2 ― 4x > 0 ⇔ x ∈ ] ― 1 2 ; 1 2 5 ] . En déduire le signe de f ' (x) . 4°) a) Calculer lim x― f et lim x+ f . Dresser le tableau de variation de f . b) Calculer lim x― [f (x) + x] et lim x+ [f (x) ― 3x] . En déduire que C admet deux asymptotes, d’équations y = ― x et y = 3x . Tracer la courbe C . 5°) a) Soit h la restriction de f ] ― ; ― 1 2 ] . Démontrer que h admet une réciproque h― 1 . En préciser l’ensemble de définition et la variation . b) Calculer lim x+ [ x + h ― 1(x)] . En déduire que C et Γ , courbe représentative de h― 1 , ont une asymptote commune . Tracer Γ . c) Calculer h― 1(0) . Déterminer une équation de la tangente à Γ au point de coordonnées (0 ; h― 1(0) ) . Exercice 36 Soit dans le plan les courbes C m : y = mx 2 ― mx ― 1 x 2 + mx + 1 . 1°) Déterminer m tel que C m soit une droite . On suppose dans la suite : m ∈ ℝ\ { ― 1 ;0 }. 2°) Démontrer que A (0 ; ― 1) est le seul point commun toutes les courbes C m , et qu’elles sont tangentes en A . 3°) Déterminer les valeurs de m telles que C m ait trois asymptotes . 4°) Calculer α ≠ 0 tel que f ' (α) = 0 . Déterminer les valeurs de m telles que f (α) soit un minimum de f ; un maximum . 5°) Soit M [α ; f (α)] . Déterminer E, ensemble des points M quand m varie . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 51 6°) Tracer, dans un même repère, la courbe E et les courbes C m correspondant à m ∈ { ― 2 ; ― 1 2 ; 3 }. Exercice37 Soit f la fonction définie par : f (x) = | x2 ― 6x + 5 | et C sa courbe . 1°) Etudier le signe de x2 ― 6x + 5 suivant les valeurs de x . 2°) En déduire l’expression de f sans valeur absolue . 3°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en particulier aux points d’abscisses 1 et 5 . C admet-elle des tangentes en ces points ? 4°) Démontrer que la droite D d’équation x = 3 est un axe de symétrie de C . 5°) Etudier les variations de f . 6°) Démontrer que les droites d’ équation y = x ― 3 et y = ― x +3 sont des asymptotes C . 7°) Déterminer les coordonnées des points A et B , intersections de C avec ses deux asymptotes . 8°) Montrer que f réalise une bijection de [5 ; + [ vers un intervalle déterminer . 9°) Représenter C . 10°) Pour x ∈ [5 ; + [, représenter la courbe de f ― 1 . Exercice 38 Soit f : f : x ↦ x 2 ― | x2 ― 1 | x 1°) f est-elle dérivable en 1 ? Calculer la dérivée de f là où elle est définie . 2°) Pour x ≥ 1, mettre f (x) sous la forme : f (x) = x 2 ― 1 + ε (x) où lim x+ ε (x) = 0 . Que peut-on en conclure ? 3°) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O, →i , →j ) . Exercice 39 Soit f la fonction numérique définie par : f (x) = 1 + x + 1 ― x 1 + x ― 1 ― x . 1°) Déterminer l’ensemble de définition Df 2°) Démontrer que : ∀ x ∈ Df , f (x) = 1 + 1 ― x2 x . 3°) Démontrer que la fonction f est impaire . 4°) Etudier la continuité de f . 5°) Calculer lim x 1 ― f (x) ― f (1) x ― 1 . Que peut-on en déduire ? Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 52 6°) Sur quelle partie de Df la fonction f est-elle dérivable ? Déterminer sa fonction dérivée f ' . 7°) Etablir le tableau de variation de f . 8°) Tracer la courbe C f représentative de f dans un repère orthonormal ( O, →i , →j ) (unité : 5 cm) . Exercice 40 Soit la fonction f définie sur ℝ \ {1} par : f (x) = x 3 ― 4x2 + 8x ― 4 (x ― 1) 2 et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur (Ox) , 1 cm sur (Oy) . 1°) Etudier la fonction f (limites, variations) . 2°) a) Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout réel x ≠ 1 , f (x) = ax + b + cx + d (x ― 1) 2 . b) En déduire que la droite D d’équation y = x ― 2 est asymptote la courbe C . c) Préciser la position de la courbe C par rapport à la droite D et les coordonnées du point I commun à la courbe C et à la droite D . 3°) Tracer C et D . 4°) a) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C , où la tangente est parallèle à D , puis l’équation de cette tangente . Tracer cette tangente T . b) En déduire graphiquement, suivant les valeurs de p, le nombre de solutions de l’équation f (x) = x + p . 5°) On se propose de retrouver par le calcul le résultat trouvé au 4°. a) Montrer que les abscisses des points d’intersection de C et de la droite D d’équation y = x + p sont les solutions de l’équation ( E ) : (p + 2) x2 + x ( ― 2p ― 7) + p + 4 = 0 . b) Trouver, suivant les valeurs de p , le nombre de solutions de l’équation ( E ) . c) Pour quelles valeurs de p la courbe C et la droite d’équation y = x + p ont-elles deux points communs M et N ? d) Dans ce cas, calculer, en fonction de p, l’abscisse du milieu P de [MN] . e) Montrer que lorsque p varie, le point P appartient à la courbe C ' d’équation y = x + 7 ― 4x 2x ― 2 . Exercice 41 Soit f la fonction définie par : f (x) = x(x ― 2) x ― 1 si x < 0 f (x) = x + | x2 ― x | si x ≥ 0 On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, →i , →j )(unité : 1 cm) 1°) a) Déterminer Df et calculer les limites de f aux bornes de Df . b) Etudier la continuité de f en 0 . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 53 c) Etudier la dérivabilité de f en x1 = 0 et x2 = 1 .Que peut-on en déduire pour C f aux points d’abscisses 0 et 1 ? d) Montrer que f est dérivable sur ℝ \ {0 , 1} et calculer f ' (x) dans les intervalles où f est dérivable . e) Résoudre dans ]0 ;1[ l’inéquation : 2 x ― x 2 + 1 ― 2x ≤ 0 . En déduire le signe de f ' (x) sur ]0 ;1[ puis étudier son signe sur les autres intervalles . Dresser le tableau de variation de f . 2°) a) Montrer que C f admet une asymptote oblique Δ en + . Etudier la position relative de C f et Δ sur ]1 ; + [ . b) Montrer que C f admet une asymptote oblique D en ― . Etudier la position relative de C f et D sur ] ― ; 0 [ . 3°) Soit g la restriction de f l’intervalle ] 1 ; + [ . a) Montrer que g définit une bijection de I = ] 1 ; + [ sur un intervalle J préciser . b) La bijection réciproque g ―1 est-elle dérivable sur J ? Calculer g ―1 ' (2) . c) Expliciter g ―1 (x) pour x ∈ J . 4°) Construire C f , ainsi que C g ―1 dans le repère ( O, →i , →j ) . Exercice 42 Soit la fonction numérique définie par :f (x) = 2x2 ― 1 x 2 ― 1 Partie A . 1°) Déterminer le domaine de définition de f . On le notera Df . 2°) Montrer que, pour tout x ∈ Df , on a f (x) > 0 . 3°) Etudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour C f courbe représentative de f dans un repère orthonormé ? 4°) Calculer f ' (x) puis étudier le signe de f ' (x) pour x > 1 . En déduire le tableau de variation de f pour x > 1 . Construire C f . Partie B . La fonction numérique g est définie par : g (x) = x x 2 ― 1 . 1°) Donner l’ensemble de définition de g . 2°) Etudier la parité de g . 3°) La droite (D) a pour équation y = x . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (D) et de la courbe représentative de g . 4°) Calculer g ' (x) et exprimer g ' (x) en fonction de f (x) de A) . 5°) Soit h la fonction définie sur ]1 ; + [ par h(x) = g (x) . a) Donner le tableau de variation de h . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 54 b) Montrer que h est une bijection de ]1 ; + [ sur un intervalle que l’on précisera . c) Tracer la courbe représentative de h . d) Tracer la courbe représentative de h―1 dans le même repère . Exercice 43 Soit la fonction f : x ↦ sin 2x 1 + sin x 1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f et montrer que f est périodique . 2°) Montrer que, pour tout x ∈ D , on a : π ― x ∈ D et f (π ― x) = ― f (x) . En déduire que la courbe représentative C de f dans ( O, →i , →j ) admet le point A ( π 2 ;0 ) pour centre de symétrie . 3°) Etudier f sur l’intervalle ] ― π 2 ; π 2 ] 4°) Tracer la courbe C . Construire la tangente en A à C . Exercice 44 Soit la fonction f : x ↦ sin2 x sin x ― 1 1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f et montrer que f est périodique . 2°) Montrer que, pour tout x ∈ D , on a : π ― x ∈ D et f (π ― x) = f (x) . En déduire que la courbe représentative C de f dans ( O, →i , →j ) admet la droite : x = π 2 pour axe de symétrie . 3°) Etudier f sur l’intervalle [ ― π 2 ; π 2 [ . 4°) Tracer la courbe C . Exercice 45 Soit m un réel non nul, fm la fonction définie par : fm (x) = x + m sin x . 1°) Montrer que O est centre de symétrie pour C m . 2°) Montrer que l’on a : lim x+ fm (x) x = 1 . Interprétation géométrique? 3°) a) Etudier f1 sur [0 ; π] . Tracer la courbe représentative Γ0 de la restriction de f1 [ ― π ; π ] . b) Soit Γk l’ensemble des points de C 1 qui satisfont à : (2k ― 1)π ≤ x ≤(2k + 1)π , k ∈ ℤ . Montrer que Γk se déduit de Γ0 par une translation de vecteur 2kπ ( →i + →j ) . c) En déduire le tracé de la courbe représentative de la restriction de f1 à [ ― π ; 3π ] . 4°) Etudier f ― 2 sur [0 ; π] . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 55 Tracer la courbe représentative de la restriction de f ― 2 [ ― π ; 3π ] . Exercice 46 Soit la fonction f : x ↦ x sin x . 1°) Montrer que la droite y ' y est un axe de symétrie pour la courbe représentative C de f . 2°) Déterminer la fonction dérivée f ' . 3°) a) Tracer la courbe représentative de la fonction tan pour étudier graphiquement le signe de tan x + x quand x varie de 0 2π . b) En déduire le tableau de variation de f sur [0 ; 2π ] . 4°)a) Tracer sur un autre graphique les droites d’équation y = x et y = ― x . b) Montrer que la courbe C est tangente à chacune de ces deux droites . Préciser les coordonnées des points de contact . c) Tracer la courbe représentative C 1 de la restriction de f l’intervalle ] ― 2π ; 2π] . Construire les tangentes à C 1 aux points d’intersection avec l’axe x ' x . Exercice 47 1°) Soit la fonction g définie sur [0 ; π] par : g (x) = 1 ― 2 cos x . Déterminer le signe de g sur [0 ; π] . 2°) Soit la fonction f définie par : 1 + cos 3x cos 3 x . a) Déterminer l’ensemble de définition Df . b) Montrer qu’on peut réduire l’étude de f Df ∩ [0 ; π] . c) Dresser le tableau de variation de f . d) Construire la courbe C de f après avoir précisé les points d’intersection avec l’axe (Ox). Exercice 48 Dans chacun des cas suivants déterminer le domaine de définition ; les limites aux bornes de Df et la fonction dérivée de f : 1°/ a) x² 3x 4 x² 5x 6 f(x)      , b) x 2 2x 3 f(x)    ;c)   2 x 1 3x 8 f(x)    2°/ a) f(x) 3x 6x² 5x 1 3      ;b) f(x)  2x²  7x  3 c) x 1 3x 2x² 1 f(x) 3     ; d) 2x 1 3 f(x)   Exercice 49 Etudier la parité des fonctions suivantes : 1°/ a)f(x)=2x+5 ; b) f(x) x 6x 3   ;c) f(x)  x²  3 2°/ a) x x² 1 f(x)   ;b) x² 1 x² 4 f(x)    ,c) f(x)  x  x 3°/ a) f(x)  x  2 ;b) f(x)  x(x² 1) Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 56 Exercice 50 Soit f une onction et (C) sa courbe représentative dans un repère O; i; j   1°/ Montrer que () est un axe de symétrie pour (C). a) f(x)=x²-4x-1 ; () : x=2 b) f(x)=-x²-2x+1 ; ():x=-1 c) f(x)=|x+2| ; () : x=-2 d) (x 1)² 1 f(x)   ; () :x=1 2°/ Montrer que le point  est un centre de symétrie pour (C). a) x 1 3x f(x)   ;          3 1 ; b) x 2 x² f(x)   ;            4 2 c) x 3 1 x 1 1 f(x)     ;          0 1 ; d) x 1 x² f(x)   ;          2 1 e) 1 x 2x f(x)   ;           2 1 Exercice 51 Soit x 2 x² 5x 4 f(x)      1) Déterminer Df . 2) Monter qu’il existe trois réels a ; b et c tels que pour tout réel appartenant à Df on a : x 2 c f(x) ax b     . 3) Déterminer alors les asymptotes à la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. 4) Etudier les variations de f. Dresser son tableau de variation. 5) Construire la courbe (Cf) Exercice 52 Soit f une fonction et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. Déterminer le domaine de définition de f et la tangente ( C ) au point d’abscisse a. Puis trouver les asymptotes (C). a) f(x)  2x  3  x et a=2 b) x 2 1 f(x) 2x 1     et 4 1 a   c) x 3 2x f(x)   et a=0 d) x² x 2 x f(x)    et a=-2 Exercice 53 Soit f(x) 2x x² 2x 6 3     a) Déterminer les limites de f. b) Calculer la dérivée de f puis dresser son tableau de variations. Exercice 54 Soit   2 3 x 1 x 2x² 4 f : x     et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal O; i; j   . 1) Montrer qu’il existe trois réels a ;b et c tels que   2 x 1 c x 1 b f(x) ax      . 2) Etudier les limites de f 3) a) Calculer f’(x) puis montrer que      3 x 1 x 1 x² 4x 8 f '(x)      b) Etudier le signe de f ‘ (x). Puis en déduire le tableau de variations de f. c) En déduire le signe de f suivant les valeurs de x. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 57 d) Montrer que la droite (D ) d’équation y=x est une asymptote C e) Montrer que C admet une asymptote vericale que vous préciserez. 4) Donner une équation cartésienne de la tangente T C au point d’abscisse 0. 5) Construire (C, ) ;(D) et T sur le même graphique? On prendra pour unité 2 cm Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 58 PRIMITIVES-FONCTONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES I)PRIMITIVES 1) Activité Déterminer dans chacun des cas suivants une fonction F dérivable sur un intervalle que l’on précisera telle que . 1) f(x) =2 2) f(x) = x 3) f(x) = 4) f(x) = cos x 5) f(x) = sin x Solution 1) f(x) =2 F(x) = 2x F est dérivable sur IR et . 2) f(x) = x F(x)= F est dérivable sur IR et 3) f(x) = F(x) =2 F est dérivable sur ]0 ; + et . 4) f(x) = cos x F(x) = sin x + 2 F est derivable sur IR et 5) f(x) = sin x F(x) = -cos x + 63 F est dérivable sur IR et . 2) Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle K. On appelle primitive de f sur K toute fonction F dérivable sur K telle que . Exemple x -100 est une primitive de x sur ]0 ;+ . x 2x est une primitive de x 2 sur IR . 3)Condition d’existence d’une primitive Toute fonction continue sur un intervalle K admet une primitive sur K. Remarque Soit f une fonction définie sur un intervalle K.  Si f n’est pas continue sur K, elle peut admettre ou ne pas admettre de primitives sur K.  Si f est continue sur K, elle admet une admet une primitive sur K mais on ne sait pas toujours en donner une formule explicite. 4)Ensemble des primitives d’une fonction Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle K.  Pour tout réel c, la fonction x F(x) + c est une primitive de f sur K.  Toute primitive de f sur K est de la forme x F(x) + c , c IR. Démonstration 1) Soit c un nombre réel. La fonction x F(x) + c est dérivable sur K et a la même dérivée que la fonction x F(x) .Donc, la fonction x F(x) + c est une primitive de f sur K. 2) Soit G une primitive de f sur K. La fonction G – F est dérivable sur K et on a : Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 59 K, ; donc, G – F est une fonction constante sur K. On en déduit que G est de la forme x F(x) + c, où c IR. Exercice d’application Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur K : 1) f(x) = 3 K = IR 2) f(x) = + sin x K = IR 3) f(x) = cos x + x K = IR Solution 1) F(x) = + c , c IR. 2) F(x) = 2 - cos x + c , c IR. 3) F(x) = sin x + + c , c IR. 5)Primitive d’une fonction vérifiant une condition initiale Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle K. est un nombre réel et est un élément de K. Il existe une seule primitive de f sur K qui prend la valeur en . Cette primitive est la fonction x F(x) - F ( ) + . Démonstration Soit F une primitive de f sur K .Toute primitive G de f sur K est telle que : x K, G(x) = F(x) + c , c IR . On a: G( = . G( = F ( ) + c = <=> c= - F ( ) + . La fonction x F(x) - F ( ) + est la primitive de f sur K qui prend la valeur en . En plus elle est unique. Exercice d’application Déterminer la primitive F sur IR de f(x) = cos x qui prend la valeur -1 pour x = . De même pour f(x) = sin x qui prend la valeur pour x = 0. Solution f(x) = cos x donc F(x) = sin x + c , c IR . F( F( <=> sin + c = -1 <=> c = - 2 La primitive de f sur IR qui prend la valeur -1 en est la fonction x sin x –2 . f(x) = sin x F(x) = - cos x + c , c IR . F(0) = F(0) = <=> - cos 0 + c = <=> c = 1 + La primitive de f sur IR qui prend la valeur 0 en est la fonction x - cos x + 1 + Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 60 6) Primitives de fonctions élémenyaires La connaissance des dérivées des fonctions élémentaires permet de dresser le tableau suivant où c désigne un nombre réel. Fonction f Primitives de f Sur l’intervalle x a , a IR x ax + c IR x , n N* x + c IR x , n N\ x + c ]- ]0 ; + x x + c ]0 ;+ x x + c ]0 ;+ x r Q\ x + c [0 ;+ si r . ]0 ;+ si r x sin x x IR x cos x x sin x + c IR x 1 + = x tan x + c ]- , k Z 7) Formules de primitives Fonction f Primitives de f x a , a IR x au + c x uv+ c x c , n N x + c , n N\ + c x 2 + c x + c , r Q\ x + c cos u x sin u+ c sin u x cos u + c = 1 + x tan u + c x vou + c 8)Détermination pratique des primitives a)Utilisation directe des formules de primitives Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur I : 1) f(x) = I = ]0; + 2) f(x) = x + sin x I = IR 3) f(x) = cos x I = IR 4)f(x) = I = ]0; + 5) f(x) = I = IR 6) f(x) = I = ]-2;0[ Solution 1) F(x) = c = + - + c , c IR . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 61 2) F(x) = cos x + c , c IR . 3) F(x) = + c , c IR . 4) F(x) = + c , c IR . 5) F(x) = + c = + c , c IR 6) F(x) = + c = + c , c IR Propriété Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle K. On a f(ax + b) a pour primitive F(ax + b) + c , c IR. Exemple x sin(2x + 3) a pour primitives x cos(2x + 3) + c , c IR . x cos (5x + 7) a pour primitives x sin(5x + 7) + c , c IR. Exercice d’application g est la fonction définie sur [─ π ; π] par : g(x) = cos x ─ x 1) Montrer que l’équation cos x = x admet une unique solution appartenant l’intervalle [─ π ; π]. 2) Montrer que π 6 < < π 4 . 3) Donner le signe de g(x) sur [─ π ; π]. 4) Déterminer la primitive G de g sur [─ π ; π] qui s’annule pour x = 0 et établir le tableau de variation de G. SOLUTION 1)g est continue sur [─ π ; π] comme somme de deux fonctions continues sur , et a fortiori sur cet intervalle (à savoir x cos x et x ─ x). g est également dérivable sur [─ π ; π] pour les mêmes raisons et, pour tout x de cet intervalle, g′(x) = ─ sin x ─ 1 = ― (sin x + 1) est négatif (puisque sin x est toujours supérieur à ─ 1 sur ) : g est donc strictement décroissante sur [─ π ; π]. Etant continue et strictement monotone sur [─ π ; π], g réalise une bijection de cet intervalle vers son image par g, à savoir [g(π) ; g(─ π)] = [─ 1 ─ π ; ─ 1 + π) = J. Or 0  J donc 0 a un antécédent unique par g, en d’autres termes l’équation g(x) = 0 a une solution unique dans [─ π ; π]. 2) g = ─ 1 < 0 et g = 2 2 ─ π 4 > 0 . g étant continue sur , l’équation g(x) = 0 admet, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, au moins une solution dans . Comme par ailleurs, d’après la question précédente, on savait que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans [─ π ; π], il en résulte que cette solution appartient nécessairement à . 3) Le tableau de variation de g sur [─ π ; π] est donc le suivant : x ─ π π g ─ 1 + π 0 ─ 1 ─ π Il en résulte que g est positive [─ π ; ] et négative sur [ ; π] . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 62 4) On a : G(x) = sin x ─ x² 2 + c. (Appliquer les primitives usuelles). G(0) = 0 c = 0. Donc finalement G est la fonction définie sur – par : G(x) = sin x ─ x² 2 . Le signe de G′, donc de g, a été trouvé à la question précédente. D’où le tableau : x ─ π π g G ( ) ─ π² 2 ─ π² 2 G( ) = sin ─ ² 2 . Or, cos = et  , donc sin > 0, d’où sin = = . Par conséquent : G( ) = ─ ² 2 . II)Fonctions logarithmiques 1) Logarithme népérien On appelle logarithme népérien la primitive de la fonction x sur ]0 ; + et qui prend la valeur 0 pour x = 1. Elle est notée ln. Le logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif x est noté ln x. 2)Conséquences de la définition Soit f(x) = lnx . On a les propriétés suivantes :  = ]0 ; +  x ]0 ; + ,  ln1 = 0  lnX existe si et seulement si X 0 . Exercice d’application Déterminer le domaine de définition de la fonction f : 1) f(x)) = ln(1 – 2x) 2) f(x) = ln( 3) f(x) = ln( 4) f(x) = ln( . Solution 1) f(x)) = ln(1 – 2x) f(x) existe ssi 1 – 2x 0 . 1 – 2x 0 donc x . = ]- . 2) f(x) = ln( f(x) existes si x 0 . = IR\ . 3) f(x) = ln( f(x) existe ssi x 0 = IR\ . 4) f(x) = ln( . f(x) existe ssi 2x – 1 et 1 – 3x 0 . = IR\ . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 63 3)Dérivée de la fonction ln(u) et ln(  Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle K alors ln(u) est dérivable sur K et .  Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K sur lequel elle ne s’annule pas alors ln( est dérivable sur K et . Exercice d’application Calculer 1) f(x) = ln( 2) f(x) = ln( 3) f(x) = 4) f(x) = ln( Solution 1) f(x) = ln( = ]- . f est dérivable sur et = . 2) f(x) = ln( = ]- , f est dérivable sur et = . 3) f(x) = = ] , f est dérivable sur et = . 4) f(x) = ln( = IR\ , f est dérivable sur et = . Propriété Pour tous nombres réels strictement positifs a et b , on a : 1) lna = lnb <=> a = b 2) lna lnb <=> a b 3) lna lnb <=> a b 4) lna 0 <=> 0 a 1 5) lna <=> a 6) lne = 1 avec e 2,718 Propriété Pour tous nombres réels strictement positifs a et b , on a : 1) ln(ab) = lna + lnb 2) ln( 3) ln( = lna – lnb 4) ln( lna 5) ln( n ln(a) n N 6)ln( = pln(a) p Z 7) ln( ) r Q 8) ln( lna q Z* Démonstration 1) ln(ab) = lna + lnb = d’où Donc lnax = lnx + c , c IR . Si x = 1 alors lna = ln1 + c d’où c = lna.On a : lnax = lnx + lna .Pour x = b, on obtient ln(ab) = lna + lnb. Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 64 2) ln( 1 = a ce qui entraîne que ln1 = ln(a ) = lna + ln donc lna + ln = 0 d’où ln = - lna . 3) ln( = lna – lnb ce qui entraîne que ln = ln( ) = lna + ln = lna – lnb d’où lnab = lna + lnb 4) ln( lna Lna = ln = 2ln( ) d’où ln( ) = lna . 5) ln( n ln(a) n N la démonstration se fera par récurrence Pour n = 0, on a ln( = ln1 = 0 et 0 lna = 0 donc la relation est vraie pour n = 0. Supposons qu’elle est vraie l’ordre n c'est-à-dire ln( n ln(a) . ln( = ln( = ln( + lna = n lna + lna = (n + 1) lna .Donc la relation est vraie à l’ordre n+ 1. D’où ln( n ln(a) n N . 6)ln( = pln(a) p Z Si p 0 alors p N d’où ln( = pln(a). Si p alors - p 0. ln( = ln( = - ln( = -(-p)lna = plna . Donc ln( = pln(a) p Z . 7) ln( ) r Q r Q <=> r = avec m Z et n Z*. n ln( = ln = ln = ln( m ln a . donc n ln( ) d’où ln( ) = r lna . On a donc ln( ) r Q . 8) ln( lna q Z* Lna = ln = qln ( d’où ln ( = lna . On a donc ln( lna q Z* 3) Limites  = +  = -  =  = +  =  =1 Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 65  =1  = - 1 Démonstration  = + Sur ]0 ; + , la fonction ln est strictement croissante.Si elle est majorée sur ]0 ; + alors elle admettrait Une limite finie en + c'est-à-dire = l , l IR . Dans le cas général, on a : = l. On pose u = 2x . = l <=> = l <=> = l <=> ln2 + = l<=> ln2 + l = l <=> ln2 = 0 ce qui est absurde. Donc sur ]0 ; + la fonction ln n’est pas majorée d’où = +  = - Posons x = .Puisque x = donc t = . Si x alors t + . = = = - (+ = + .  = Soient f(x)= lnx et ( sa courbe représentative. La fonction f est deux fois dérivables sur ]0 ; + Et = x ]0 ; + .Donc ( est en tout point située au- dessous de sa tangente. Une équation de la tangente à ( au point d’abscisse 1 est y = x – 1. D’où x ]0 ; + lnx – . On a x – 1 . Soit x un nombre réel x 1 . x 1 donc . On a : 0 donc 0 .ce qui implique que 0 . 0 donc 0 or x = .D’ où 0 = et = 0 = donc d’après le théorème d’encadrement on a : = .  = + = = = + . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 66  = Posons x = .Puisque x = donc t = . Si x alors t + . = = = - = Donc = .  =1 On utilisera le nombre dérivé = = = 1 donc .  =1 Posons t = 1 + x .Puisque x = t - 1donc t = 1 + x . Si x alors t 1 . = = 1 donc = 1.  = - 1 Posons t = - x .Puisque x = - t donc t = - x . Si x alors t 0 . = = - = - 1. Donc = - 1 . Exercice d’application Calculer les limites suivantes 1) 2) 3) 4) Solution 1) = 1) = = = + donc = + . 2) = = + = + 1 = + donc = + . 3) = = = donc = = 0 . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 67 4) On pose u = x – 1. u = x - 1 donc x = u + 1 Si x alors u 1 . = = = 2 = 2 Donc = 2 . Primitives de Soit u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur K. La fonction admet pour primitive sur K la fonction ln . Exemples 1) La fonction x a pour primitive sur ]- la fonction x . 2) La fonction x tanx a pour primitive sur ]- [ la fonction x . 3) La fonction x a pour primitive sur ]1 la fonction x . 4) Etude de la fonction ln Soit f(x) = ln x. Soit ( sa courbe représentative. 1) On a : = ]0 ; + 2) Etude des branches infinies de ( . = - donc x = 0 est une AV à ( . = + et = donc ( admet une branche parabolique de direction (ox) au voisinage de + . 3) Dérivée La fonction f est dérivable sur ]0 ; + et . x ]0 ; + d’où la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; + . x 0 1 e + + 1 + + f(x) + 0 1 - Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 68 Une équation de la tangente à ( au point d’abscisse 1 est y = x - 1 . Une équation de la tangente à ( au point d’abscisse e est y = . 4) Traçons ( La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0 ; + donc elle est bijective de ]0 ; + vers IR. 1 IR donc il existe un unique antécédent ]0 ; + tel que ln = 1. On pose = e . D’où lne = 1 avec e 2,718 . III) Fonctions exponentielles 1)Fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée Exp, est la bijection réciproque de la fonction ln. Exp : IR ]0 ; + x expx y= lnx -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 69 L’exponentielle d’un nombre reel x est notée expx. De plus on a x IR , expx 0. NOTATION Montrons que exp x = Les fonctions ln et exp sont des bijections réciproques. x IR, ln(exp x) = x = exp(ln x) or x = ln( donc ln(exp x) = ln( d’où exp x = . x IR, exp x = . On redéfinit la fonction exponentielle : e : IR ]0 ; + x De plus on a x IR , 0 . Propriété Pour tout nombre réel a strictement positif et pour tout nombre réel b, on a  ln a = b <=> a =  ln a b <=> a  ln a b <=> a Propriété Pour tous nombres réels a et b, on a  = <=> a = b  <=> a b  <=> a b Propriété Pour tout nombre réel x, on a  = <=> x = 0  1 <=> x 0  1 <=> x 0 Propriété Pours tous nombres réels a et b, on a 1) 2) 3) 4) = r Q 5) = p Z 6) = n N 2)Dérivée de la fonction exponentielle ln : ]0 ; + IR e : IR ]0 ; + x lnx x Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 70 La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + (1) x ]0 ; + (2) D’après ‘1) et (2) , la fonction exponentielle e est dérivable sur IR . On a f(x) = y = lnx. y = lnx donc = = x d’où = x . x = donc = . On vient de montrer que : y IR , = . Propriété La fonction x est dérivable sur IR et pour tout nombre réel x , on a : = . Propriété Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K alors est dérivable sur K et = . Exercice d’application Calculer la dérivée de la fonction f 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = Solution 1) f(x) = = IR . f est dérivable sur IR et . 2) f(x) = = IR . f est dérivable sur IR et = - sin x . 3) f(x) = = IR \ . f est derivable sur IR \ et = = . 3) Limites 1) = + 2) = 3) = + 4) = 5) = 1 6) = Démonstration La fonction exponentielle est une bijection strictement croissante de IR vers ]0 ; + donc = et = + . 3) = + Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 71 = = = = + . 4) = = = = . 5) = 1 = = = 1 . 6) = Posons t = - x . Si x alors t + . = = = -( . Exercice d’application Calculer les limites suivantes 1) 2) 3) 4) Solution 1) Posons X = . Si x alors X + . = = = . 2) = = + = - . 3) = = = -2 . 4) Posons X = . Si x alors X + . = = 1 . Primitives de Soit u une fonction dérivable sur un intervalle K. La fonction admet pour primitive sur K la fonction . Collection Le Savant Cours Terminale S2 Page 72 Exemples 1) Une primitive sur IR de la fonction x est la fonction x - . 2) ) Une primitive sur ]- de la fonction x est la fonction x . 4)Etude de la fonction exponentielle Soit f(x) = . Soit ( sa courbe représentative. 1) On a : = IR 2) Etude des branches infinies de ( . = = 0 donc y = 0 est une AH à ( en - . = + et = + donc ( admet une branche parabolique de direction (oy) au voisinage de + . 3) Dérivée La fonction x est dérivable sur IR et . 0 x IR donc f est strictement croissante sur IR. x - 0 1 + + 1 + e + f(x) e + 0 1 Les fonctions x et x sont des bijections réciproques, leurs représentations graphiques sont symétriques par rapport à la première bissectrice ( ) d’équation y = x. 4)Traçons la courbe ( »

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