Quel(s) rôle(s) joue l'intuition en mathématiques? ?

« Comment démarrer votre dissertation et trouver le plan. 1.

Les concepts d'intuition et de mathématiques sont des notions très classiques de votre cours. Analysez bien toutes les acceptions de l'intuition, terme qui peut recevoir une multiplicité de sens. 2.

L'intuition (mode de connaissance immédiat lié aux objets concrets divers) s'oppose aux mathématiques (science générale et abstraite sans objet particulier).

Cette opposition vous permet de poser le problème : le recours à l'intuition se justifie-t-il dans une discipline qui tend à se dégager de toute détermination concrète ? 3.

L'existence de sens multiples du terme intuition (en particulier empirique, a priori, créatrice) conduit à utiliser le plan progressif. 4.

La réflexion sémantique guide ici votre discussion, en permettant de dégager, à travers les différents sens, le rôle que joue l'intuition à différents niveaux en mathématiques (base concrète, puis cadre général imposé, enfin, moteur de la créativité). Bibliographie Nous recommandons tout particulièrement : • R.

Blanche, L'axiomatique (PUF). Dense.

Clair.

Petit ouvrage absolument remarquable, très utile au candidat au baccalauréat qui veut approfondir les problèmes sans se noyer dans les difficultés. • Kant, Critique de la raison pure (PUF). — Esthétique transcendantale ; — Analytique transcendantale : du principe de la distinction de tous les objets en phénomènes et en noumènes. A.

Introduction Le terme intuition vient du latin intueri, regarder.

L'intuition désigne un mode de connaissance immédiat, sans intermédiaire, où l'on « regarde » en quelque sorte l'objet, sans avoir recours à des médiations.

L'intuition peut donc se définir au sens le plus général du terme comme la « vue directe et immédiate d'un objet de pensée », elle se rapporte immédiatement à l'objet.

Ces objets étant variés, il va sans dire qu'aux différents objets correspondent diverses formes d'intuitions jouant des rôles divers. Quant aux mathématiques, elles représentent, selon une définition célèbre, la science de l'ordre et de la mesure, discipline fort générale et fort abstraite qui ne se réfère à aucune objet particulier. Dès lors, si la mathématique est une science très générale et très abstraite, on peut se demander non seulement si l'intuition joue un rôle en mathématique, selon l'intitulé immédiat de la question, mais aussi (et tel est le problème) si le recours à l'intuition se justifie dans le cadre d'une discipline tendant à s'épurer de ses déterminations et de ses spécifications concrètes. B.

Discussion 1.

L'intuition empirique L'abstraction et le caractère formel de la discipline mathématique ne doivent pas faire illusion.

L'intuition se manifeste dans cette étude à un premier niveau que nul ne saurait nier : elle s'y présente, tout d'abord, sous une forme sensible et empirique.

Ce ne sont point, en effet, les seuls yeux de l'esprit que requiert l'exercice mathématique, mais bien aussi ceux des sens.

Sans doute l'objet des mathématiques est-il a priori, produit sous un mode non empirique, mais le triangle (purement intelligible) ne prend lui-même de sens et de valeur que dans l'expérience.

Ainsi l'intuition concrète est-elle toujours plus ou moins à l'oeuvre dans le raisonnement mathématique, qu'elle pénètre en permanence.

Ce sont bel et bien des figures empiriques que le géomètre trace sur le tableau noir, même si elles figurent de pures notions abstraites.

A quoi sert ici l'intuition concrète? A ne point laisser l'esprit s'égarer dans le domaine de la pure idéalité, à « présentifier » les notions abstraites.

Kant a souligné avec lucidité le rôle de cette intuition empirique : les formules les plus abstraites, comme « l'espace a trois dimensions », « entre deux points on ne peut tirer qu'une ligne droite », ne seraient rien si nous ne pouvions montrer leur signification dans des phénomènes et des objets empiriques.

Grâce à l'intuition concrète, la mathématique trouve son objet et ne fait point le saut (funeste) qui la transporterait jusqu'à la pure idéalité. C'est la construction de la figure (phénomène présent aux sens), représentation sensible et concrète, qui permet à l'esprit de demeurer dans le champ de l'expérience. L'intuition empirique soutient donc toute la construction mathématique et forme l'élément de base du raisonnement qui, sans elle, s'égarerait loin du cadre nécessaire des objets d'expérience. « Par intuition j'entends, non pas le témoignage changeant des sens ou le jugement trompeur d'une imagination qui compose mal son objet, mais la conception d'un esprit pur et attentif, conception si facile et si distincte qu'aucun doute ne reste sur ce que nous comprenons.

» Descartes, Règles pour la direction de l'esprit, 1701 (posth.) Chez Descartes, l'intuition est l'acte par lequel notre esprit atteint directement la réalité, nous procurant par-là même une certitude absolue. « Si fort qu'un homme soit supposé adhérer à des idées fausses, jamais pourtant nous ne dirons qu'il tient une certitude.

» Spinoza, Éthique, 1677 (posth.) « J'entends concevoir la certitude comme quelque chose qui se situe au-delà de l'opposition justifié/non justifié; donc pour ainsi dire comme quelque chose d'animal.

» Wittgenstein, De la certitude, 1969 (posth.). »