L'intuition joue-t-elle un rôle dans les mathématiques ?

« De la géométrie d'Euclide aux géométries non euclidiennes. Les Anciens essayèrent, en vain, de déduire le cinquième postulat de la géométrie d'Euclide (par un point extérieur à une droite donnée, on peut mener une seule parallèle à cette droite) des autres postulats.

Au début du XIXe siècle, Lobatchevsky et Bolyai fondèrent une nouvelle géométrie en partant du postulat que par un point extérieur à une droite donnée on peut mener plusieurs parallèles à cette droite.

En 1854, Riemann créa une autre géométrie postulant qu'il n'existe pas de droites parallèles.

Si ces géométries sont sans rapport avec notre représentation familière de l'espace, elles n'en sont pas moins légitimes à partir du moment où elles n'impliquent aucune contradiction logique.

Ajoutons qu'avec les progrès de l'analyse, apparaissent, dans la seconde moitié du XIXe siècle, des courbes sans tangentes, des courbes remplissant un carré... Axiomatisation des mathématiques. Dès lors, pourchassant l'intuition, les mathématiciens construisent l'édifice mathématique en partant d'axiomes aussi simples et aussi peu nombreux que possible et en enchaînant les propositions en vertu des seules règles de la logique. Parallèlement à cet effort d'axiomatisation des mathématiques, se constitue avec Boole, Peano, Frege une logique enfin capable de formaliser effectivement le discours mathématique.

Dès lors, la tâche du mathématicien est de déduire des théorèmes à partir d'axiomes ni vrais ni faux mais simplement posés.

Quant à la validité des démonstrations, elle ne repose plus que sur la structure des énoncés qu'elles contiennent et non sur la nature particulière de ce dont elles parlent. Peu importe, au fond, qu'il s'agisse de nombres, de droites ou de triangles.

Comme le constate Bertrand Russell, « les mathématiques pures sont cette discipline où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai « ( The International Monthly, juillet 1901). La conception formaliste. Elle tend à faire de la mathématique, une discipline hypothético-déductive et arbitraire qui, à la limite, ne serait qu'une pure et simple mise en oeuvre de la logique formelle. — Le formalisme vise à délivrer les mathématiques de tout recours à l'intuition sensible ou intellectuelle (de façon à en assurer la rigueur et la préserver des pièges éventuels de l'intuition). — L'axiome doit être débarrassé de l'intuition. — Formalisation de raisonnement.

La mathématique tend à s'identifier à la logique formelle. Entre intuition et déduction. S'il est vrai qu'une fois les axiomes posés il est relativement aisé d'en déduire des théorèmes de manière logique et mécanique, qu'en est-il du choix des axiomes eux-mêmes? Ce qui importe au mathématicien, lorsqu'il cherche à fixer le point de départ axiomatique, c'est que celui-ci soit fécond.

Par quelle opération logique pourrait-il savoir à l'avance qu'un système d'axiomes conduira à des découvertes utiles? Il convient, en fait, de distinguer la recherche du mathématicien qui est faite d'invention vivante, d'intuitions, de tâtonnements, et l'exposition hypothético-déductive qui est effectuée après coup par un effort d'épuration.

L'axiomatique se réfère à des théories déjà acquises.

Il n'y a donc pas d'alternative absolue entre l'intuition et la déduction.

Comme toute connaissance, les mathématiques sont le produit d'intuitions et de concepts. « Par intuition j'entends, non pas le témoignage changeant des sens ou le jugement trompeur d'une imagination qui compose mal son objet, mais la conception d'un esprit pur et attentif, conception si facile et si distincte qu'aucun doute ne reste sur ce que nous comprenons.

» Descartes, Règles pour la direction de l'esprit, 1701 (posth.) Chez Descartes, l'intuition est l'acte par lequel notre esprit atteint directement la réalité, nous procurant par-là même une certitude absolue. « Si fort qu'un homme soit supposé adhérer à des idées fausses, jamais pourtant nous ne dirons qu'il tient une certitude.

» Spinoza, Éthique, 1677 (posth.) « J'entends concevoir la certitude comme quelque chose qui se situe au-delà de l'opposition justifié/non justifié; donc pour ainsi dire comme quelque chose d'animal.

» Wittgenstein, De la certitude, 1969 (posth.). »