Mathématiques: théorie et expérience ?

« VOCABULAIRE: EXPÉRIENCE: a) Sens courant (expérience vécue): instruction acquise par une longue pratique des choses (l'expérience de la vie).

b) Connaissance acquise par les données ou impressions des sens.

c) En science, observation méthodique et réfléchie de certains phénomènes, en vue de vérifier une hypothèse (synonyme d'expérimentation). THÉORIE (n.

f., étym.

: grec theoria : vue d'un spectacle, contemplation, spéculation) 1.

— (Lato) Connaissance spéculative, abstraite, désintéressée, enchaînant des principes à des conséquences ; opposée à pratique.

2.

— Ensemble d'hypothèses gén.

visant à expliquer soit la totalité, soit une classe déterminée de phénomènes.

3.

— Ensemble d'hypothèses, d'opinions gén.

propres à un auteur.

4.

— Construction achevée d'une doctrine scientifique : « La théorie est l'hypothèse vérifiée après qu'elle a été soumise au contrôle du raisonnement et de la critique expérimentale » (Claude BERNARD). MATHÉMATIQUE: ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités.

Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible. Les mathématiques pures ont pour objets le nombre et la figure, leur méthode se compose de règles qui concernent le sujet qui raisonne et la forme de son raisonnement.

Elles sont, comme la logique, des sciences abstraites et formelles. Cependant, éloignées de la réalité concrète par leurs objets tout autant que par l'attitude qu'elle exigent de l'esprit, comment penser leur utilité, leur rôle dans l'explication de la réalité ? Idéalité des objets mathématiques Les objets mathématiques sont idéaux : rien de la réalité sensible ne vient se mêler à la façon dont sont examinés les nombres dans l'arithmétique ou les figures dans la géométrie.

Dans les mathématiques, l'esprit se détourne de l'application du calcul et de la mesure aux exigences pratiques de comptabilité, commerce, etc.

Il explore à loisir l'univers abstrait des objets mathématiques.

Ceux-ci n'ont d'ailleurs aucun équivalent strict dans la réalité matérielle. Deux bouts de bois ne sont jamais parfaitement égaux, deux sommes ou deux segments de droites peuvent l'être exactement.

Le triangle est une idée dont l'image tracée au tableau n'est qu'un reflet.

L'idée, définition conceptuelle du triangle, exprime son essence, c'est-à-dire ce sans quoi le triangle ne serait pas ce qu'il est.

Les propriétés de tout objet mathématique obéissent à des lois logico-mathématiques qui président à l'ordre démonstratif du raisonnement mathématique.

La preuve logico-mathématique tire sa force de cet ordre, expression d'une nécessité rationnelle. Mathématiques et méthode Les mathématiques impliquent une attitude théorique pure : savoir en vue de savoir, et non en vue d'une fin pratique.

Ceci tient aux objets étudiés et au sujet qui les étudie.

L'esprit est confronté à l'intelligible pur et parfait. Il doit se plier à des règles méthodiques sans lesquelles sa démonstration n'aurait pas la solidité nécessaire à l'établissement d'une vérité. La méthode cartésienne est ici exemplaire : elle donne les quatre préceptes que l'esprit doit suivre dans sa recherche de la vérité d'un objet.

Dans le premier précepte, l'évidence rationnelle joue un rôle essentiel.

Est évident ce qui, étymologiquement, est clairement visible, manifeste (evidens).

Lorsque, par exemple, nous disons que la proposition « deux et deux font quatre » est évidente, nous indiquons à la fois qu'elle est vraie et que nous en sommes certains. Notre esprit, « se rendant à l'évidence » indubitable, ne peut que donner son assentiment.

Ainsi, l'évidence rationnelle se compose de deux éléments : la vérité de l'objet et le sentiment de certitude du sujet.

L'esprit « voit » distinctement l'objet qu'il « regarde ».

Cette vision de l'esprit pur et attentif est une intuition rationnelle.

De plus, partant de propositions vraies, l'esprit peut en déduire d'autres.

La déduction est donc le passage d'une vision claire à une autre, passage lui-même évident. Ainsi peut se dérouler la solide « chaîne » démonstrative qui compose les étapes de la recherche d'une vérité.

La preuve logico-mathématique repose sur cette force de la démonstration rationnelle.

Elle se distingue de la preuve expérimentale et de la preuve testimoniale. Mathématiques et formation de l'esprit Les mathématiques obligent l'esprit à se détacher des exigences utilitaires.

Elles lui proposent une méthode.

Il apprend ordre et mesure, rigueur et abstraction.

Ainsi, tant par la forme de leurs raisonnements, que par la formation de l'esprit à laquelle elles contribuent, les mathématiques montrent à la fois comment l'homme, dans la théorie pure, peut se rendre absolument libre de toute contrainte pratique, et cependant se plier absolument à des lois, qu'il est seul à pouvoir penser.

Les mathématiques sont un jeu noble de l'esprit libéré.

C'est de cette libération qu'elles tirent leur force théorique.. »