MATHS: Orthogonalité dans l’espace

« Orthogonalité dans l’espace I/ Produit scalaire dans l’espace 1) Définition u AB et v⃗ =⃗ AC . Soit ⃗ et v⃗ deux vecteurs de l'espace.

A, B et C trois points tels que u⃗ =⃗ Il existe un plan P contenant les points A, B et C . Définition : AB .

⃗ AC On appelle produit scalaire de l'espace de u⃗ et v⃗ le produit scalaire u⃗ .

⃗v égal au produit scalaire ⃗ dans le plan P. On a ainsi : u⃗ .

⃗v =AB × AC × cos ^ BAC Propriété : Soit H le projeté orthogonal de B sur (AC) et K le projeté orthogonal de C sur (AB). On a : ⃗ AB .

⃗ AC = AB× AK ⃗ AB .

⃗ AC = AC × AH Exemple : Soit ABCDEFGH un cube de côté c .

I et J sont les milieux respectifs de [FB] et [HD]. Compléter : 2 1) ⃗ AH .

⃗ BF=⃗ AH .

⃗ AE=⃗ AE .

⃗ AE=A E =c ² c c² AI .

⃗ BF =⃗ AI .

⃗ AE= AE × BI =c × = 2) ⃗ 2 2 2 3) ⃗ AH .

⃗ GB=⃗ AH .

⃗ HA=−H A =−2 c ² ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 4) AD .

AJ = AD .

AD=c ² Remarque : On a 0⃗ .

⃗u =u⃗ .

0⃗ =0 2) Propriétés Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. w trois vecteurs de l'espace. Propriétés : Soit u⃗ , v⃗ et ⃗ 2  u⃗ .

u⃗ =‖⃗u‖  Symétrie : u⃗ .

⃗v =v⃗ .

⃗u   w ) =⃗u .

v⃗ + ⃗u .

⃗ w et ( v⃗ + ⃗ w ) .

⃗u =⃗v .

⃗u + ⃗ w .

⃗u Bilinéarité : u⃗ .

( ⃗v + ⃗ ( k ⃗u ) .

v⃗ =⃗u .

( k ⃗v )=k ( ⃗u .

⃗v ) , k ∈ R Propriétés : Pour tous vecteurs u⃗ et v⃗ de l’espace, on a : 2 2 2 1) ‖⃗u + v⃗‖ =‖⃗u‖ +2 u⃗ .

⃗v +‖v⃗‖ 2 2 2 2) ‖⃗u− ⃗v‖ =‖u⃗‖ −2 ⃗u .

v⃗ +‖⃗v‖ Propriété : Formules de polarisation Pour tous vecteurs u⃗ et v⃗ de l’espace, on a : 1) u⃗ .

⃗v = 1 (‖u‖2 +‖⃗v‖2−‖⃗u− ⃗v‖2 ) 2 ⃗ 2) u⃗ .

⃗v = 1 (‖u + v‖2−‖⃗u‖2−‖⃗v‖2 ) 2 ⃗ ⃗ 3) u⃗ .

⃗v = 1 (‖u + v‖2−‖⃗u− ⃗v‖2 ) 4 ⃗ ⃗ 3) Orthogonalité Propriété : Orthogonalité u⃗ .

⃗v =0 ⟺ ⃗u et v⃗ sont orthogonaux (ou u⃗ =0 et v⃗ =0) Exemple : Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête 3 et E le point défini par 1 ⃗ AE= ⃗ CD . 3 AB .

⃗ AC et ⃗ AB .

⃗ AD. 1) Calculer les produits scalaires ⃗ 2) En déduire la valeur de ⃗ AB .

⃗ CD . 3) Que peut-on en déduire pour le triangle ABE ? 1) Comme ABCD est un tétraèdre régulier, les triangles ABC et BD sont équilatéraux. π 1 ⃗ AB .

⃗ AC = AB × AC ×cos ^ BAC =3× 3× cos =9× =4,5 3 2 et de même ⃗ AB .

⃗ AD=4,5 2) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AB .

CD= AB .

(⃗ CA+⃗ AD )=⃗ AB.

CA+ AB .

⃗ AD=−⃗ AB .

⃗ AC + ⃗ AB .

⃗ AD=−4,5+ 4,5=0 : les vectuers ⃗ AB et ⃗ CD sont orthogonaux . 1 1 AB .

⃗ AE=⃗ AB .

⃗ CD= ⃗ AB.

⃗ CD=0 : 3) ⃗ 3 3 ⃗ AB et ⃗ AE sont orthogonaux donc le triangle ABE est rectangle en A. Remarque x 0 Cos x sinx 1 0 Exercices P104 N°56-59 π 6 √3 2 1 2 π 4 √2 2 √2 2 En autonomie Capacités 1 et 2 p 89 π 3 1 2 √3 2 0 π 2 1 Pour aller plus loin P 105 N° 72 P 102 N°20 P 112 N°143-144 II/ Produit scalaire dans un repère orthonormé Définitions : Une base ( i⃗ , ⃗j , ⃗k ) de l’espace est orthonormée si : - les vecteurs i⃗ , ⃗j et k⃗ sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs i⃗ , ⃗j et ⃗k sont unitaires, soit :‖i⃗‖=1, ‖⃗j‖=1 et ‖⃗k‖=1. Un repère ( O ; i⃗ , ⃗j , k⃗ ) de l’espace est orthonormé, si sa base ( i⃗ , ⃗j , k⃗ ) est orthonormée. () ( ) x x' u ⃗ v ⃗ y Propriété : Soit et y ' deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé ( O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ). z z' Alors ' ' u⃗ .

⃗v =x x + y y + zz ' . Et en particulier : ‖⃗u‖=√ ⃗u .

⃗u =√ x 2 + y 2 + z 2. Soit A ( x A , y A , z A , ) et B ( x B , y B , z B ) deux points de l’espace.

On a : √ 2 2 2 AB= ( x B− x A ) + ( y B − y A ) + ( z B −z A ) Exemple : ABCDEFGH est un cube d’arête 1.

I milieu de [BF]. CE et ⃗ DI sont-ils orthogonaux ? Les vecteurs ⃗ CE et ⃗ DI sont-ils orthogonaux ? Les vecteurs ⃗ On considère le repère de l'espace ( C ; ⃗ CB , ⃗ CD , ⃗ CG ). () ( ) ( ) 1 1−0 1 CE 1 et ⃗ DI 0−1 soit ⃗ DI −1 . Alors : ⃗ 1 0,5−0 0,5 CE .

⃗ DI =1 ×1+1× (−1 ) +1× 0,5=0,5. Alors : ⃗ CE et ⃗ Les vecteurs ⃗ DI ne sont pas orthogonaux. Exemple : utiliser le produit scalaire pour déterminer un angle Soit A ( 7 ;−2 ;−5 ) , B ( 5 ; 4 ; 4 ) et C ( 5 ; 1 ;1 ) . AB .

⃗ AC . 1) Calculer ⃗ 2) Calculer AB et AC . BAC en degré. 3) En déduire une valeur approchée à 0,01 près de l’angle ^ −2 −2 ⃗ ⃗ AB AC AB .

⃗ AC =−2× (−2 )+ 6× 3+9 ×6=76 6 3 et ⃗ 1) 9 6 ( ) ( ) 2) AB=√ (−2 )2+ 62 +9 2=11et AC =√ (−2 )2+ 32 +6²=7 76 AB .

⃗ AC = AB × AC ×cos ^ BAC ≤¿ cos ^ BAC = .

Donc ^ BAC ≈ 9,2 ° . 3) ⃗ 7 ×11 Exercices P104 N° 64-69 En autonomie Capacités 3 et 4 p 91 Capacité 4 p 91 P 102 N°30 P 112 N°146-147 P 114 N° 163 Pour aller plus loin III/ Orthogonalité de droites et de plans 1) Orthogonalité de deux droites Définitions : Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Deux droites de l’espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont coplanaires et orthogonales Exemple : ABCDEFGH est un cube. - Les droites (EH) et (EF) sont perpendiculaires. - Les droites (BC) et (EF) sont orthogonales mais non perpendiculaires. Propriété : u ' sont orthogonales si et seulement si u⃗ .

⃗ u ' =0. Deux droites d et d ’ de vecteurs directeurs u⃗ et ⃗ Exemple : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité Soit un tétraèdre régulier ABCD d’arêtes de longueur l . Démontrer que les arêtes [ AD] et [ BC ] sont orthogonales. Ona ⃗ AD .

⃗ BC=⃗ AD .

(⃗ BA+ ⃗ AC )=⃗ AD .

⃗ BA+⃗ AD .

⃗ AC =−⃗ AD .

⃗ AB +⃗ AD .

⃗ AC c Or les triangles ABD et ADC sont équilatéraux et ⃗ AD .

⃗ AB=⃗ AD .

⃗ AC = 2 2 Donc ⃗ AD .

⃗ BC =−⃗ AD .

⃗ AB+ ⃗ AD .

⃗ AC =0 : les arêtes (AD) et (BC) sont orthogonales. 2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan Définition : Une droite est orthogonale à un plan P si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal à tous les vecteurs de la direction de P. Propriété : Une droite d de vecteur directeur n⃗ est orthogonale à un plan P si et seulement s’il existe deux vecteurs non colinéaires u⃗ et ⃗v de ce plan tels que n⃗ et ⃗u orthogonaux ET n⃗ et ⃗v orthogonaux n⃗ .

u⃗ =0 ET n⃗ .

v⃗ =0 Une droite d’ est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P (sur le dessin . Exemple : ABCDEFGH est un cube. (AE) est perpendiculaire aux droites (AD) et (AB). (AB) et (AD) sont sécantes et définissent le plan (ABC). Donc (AE) est orthogonale au plan (ABC). Propriété :  .... »