Cours intégrale term

« Chapitre XIV INTEGRALES En 1696, Jacques Bernoulli reprend le mot latin « integer », déjà utilisé au XIVe siècle, pour désigner le calcul intégral.

A cette époque, on partait de l’équation de la courbe pour calculer l’aire sous la courbe, c’est à dire du « bord » de la surface à la surface entière (intégrale). Au milieu du XIXe siècle, les sciences sociales reprennent le mot pour exprimer l’idée qu’une personne s’intègre à un groupe. NOTION D’INTEGRALE pour une fonction continue sur un intervalle I-  Activité 1 Le plan étant muni d’un repère orthogonal  O; i , j  , on définit les points I, J et K par OI  i , OJ  j et OIKJ rectangle. L’aire de OIJK définit alors une unité d’aire noté ua. On vient de montrer, sur la fonction carré, que l’aire du domaine délimité par la parabole, l’axe et les droites d’équations et s’exprime comme limite de suites, et on a exprimé cette aire par une intégrale. On admet que ce résultat se généralise. Définition : Soient une fonction continue et positive sur un intervalle  O; i , j  . Le réel noté  b f ( x)dx est l’aire, en unités d’aire, du domaine a par C, l’axe et C sa courbe représentative dans le repère délimité et les droites d’équation x = a et x = b. a et b sont les bornes de l’intégrale et x est une variable muette : elle n’intervient pas dans le résultat. On a  b a f ( x)dx =  b a f (t )dt =  b a f (u )du … Exemples : a) Si a = b alors ∫ b) Si m > 0 alors Le domaine  b a mdx = est réduit à un segment. .

Le domaine est un rectangle. c) ∫ Rappel : aire d’un trapèze : d)  4 2 ( x  1)dx  1 Définition – cas d’une fonction négative. Soient une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b] et g la fonction continue sur [a ; b] par  On définit l’intégrale de a à b par b f ( x)dx =  b g ( x)dx   A  où A est l’aire du domaine délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b. Remarque : Ainsi, si et si  b a a f ( x)dx est appelée l’aire algébrique du domaine .

L’aire  de a est négative sur ,  b a est une aire géométrique. f ( x)dx = -  , alors l’aire algébrique de est égale à l’aire géométrique de . 1 définie sur par f ( x)  x  2 .

Calculer l’aire géométrique puis algébrique de . 2 est positive sur Exemple : Soit ( ) ua (pas d’unité) ∫ Il s’agit d’une aire algébrique car est négative sur . Définition – cas d’une fonction changeant de signe. Soient une fonction continue qui change de signe sur un intervalle [a ; b] et C sa représentation graphique. L’intégrale de entre a et b est le réel défini par la somme des aires algébriques des domaines définis par les intervalles où la fonction f garde un signe constant.  On pose alors b a f ( x)dx = A1  A2 (ce n’est plus une aire géométrique). On découpe l’intervalle [a ; b] en intervalles sur lesquels  b a c d b a c d a un signe constant et par exemple : f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Exemple : Soit cercles.

Calculer ∫ ∫ une fonction définie sur  2 5 dont la représentation graphique est la réunion de trois demi- f ( x)dx . ∫ ∫ ∫ 2 Définition – valeur moyenne. Soit une fonction continue sur un intervalle [a ; b], avec a < b. sur [a ; b] est le réel   La valeur moyenne de 1 b f ( x)dx b  a a b 1 b f ( x ) dx équivaut à  ( b  a )  a f ( x)dx . b  a a La valeur moyenne de sur est le réel  tel que le rectangle de dimensions  et aire que le domaine coloré situé sous la courbe de .  C’est la valeur que devrait prendre inchangée. Exemple : Calculer  3 4 soit de même pour que l’aire sous la courbe soit ( x  1)dx puis déterminer la valeur moyenne de la fonction f : x ∫ si elle était constante sur – ∫ x  1 sur . ∫ ∫ La valeur moyenne de f sur ∫ est PROPRIETES DE L’INTEGRALE II- 1) Relation de Chasles Soit une fonction continue sur un intervalle I.

Pour tous réels a, b et c dans I, on a :  b a Exemple : Calculer | | b a c  2 5 2t  3 dt { D’où ∫ | ∫ | c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)d ( x) | | ∫ ∫ (car cette fonction est positive) 3 Conséquences : ∫ ∫ ∫  D’où ● Si alors ● Si alors ● Si alors b a f ( x)dx   f ( x)dx a b est une fonction paire (toujours continue) sur  a a , a f ( x)dx  2 f ( x)dx 0 est une fonction impaire (toujours continue) sur  a a , f ( x)dx  0 est une fonction T-périodique (toujours continue) sur ,  a T a T f ( x)dx   f ( x)dx 0 2) Linéarité de l’intégrale Soient et deux fonctions continues sur un intervalle I et  un réel. Pour tous réels a et b de I, on a : a  f  g  ( x)dx  a b b b f ( x)dx   g ( x)dx a 1  a   f  ( x)dx   a b et  Exemple : Calculer I   x 2  5x  3 dx sachant que 0 ∫ ∫ ∫ ∫  1 0 b f ( x)dx 1 x 2 dx  . 3 par linéarité de l’intégrale 4 Positivité de l’intégrale Soient Si une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I avec a  b . est positive sur [a ; b], alors  b a f ( x)dx  0 . Cette propriété est liée à la définition de l’intégrale, pour une fonction positive, comme aire située sous la courbe représentative de la fonction sur [a ; b]. ATTENTION, la réciproque est fausse. 3) Signe d’une intégrale Si f  0 sur I avec a  b , Si f  0 sur I avec a  b ,   b a b a f ( x)dx  0 avec a  b , f ( x)dx  0 avec a  b ,   b a b a f ( x)dx  0 f ( x)dx  0 Exemples : Déterminer le signe de :  1  sin u  du 0  2 2 2  tdt 1 0,8 0,5 ,√ , Et Donc ln xdx . , et Donc et Donc 4) L’intégrale conserve l’ordre Soient et deux fonctions continues sur I et a et b deux réels de I tels que a  b . Si f  g sur [a ; b] , alors  b a b f ( x)dx   g ( x)dx a Démonstration : Si sur avec : Donc d’après le signe d’une intégrale : ∫ ( Par linéarité de l’intégrale : ∫ Donc : ∫ ) ∫ ∫ 5 Exemple : a) Démontrer que pour tout réel t de [0 ;1], b) En déduire que a) 1 t  1 t 0 2 dt  1 . 2 d’où par inverse , t t. 1 t2 et comme b) L’intégrale conserve l’ordre, d’où ∫ : ∫ ∫ 5) Inégalité de la moyenne Soient une fonction continue sur un intervalle I et deux réels a et b dans I. ● S’il existe deux réels m et M tels que pour tout réel , m  f ( x)  M sur I et si a  b , alors : m  b  a    f ( x)dx  M  b  a  b a ● S’il existe un réel M positif tel que f  M sur I, alors  b a f ( x)dx  M b  a Démonstration : sur un intervalle I Or l’intégrale conserve l’ordre d’où : ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Exemples : a) Donner un encadrement.... »