Grand Oral — Le Surbooking Loi binomiale · Espérance · Optimisation par gain marginal

« Grand Oral — Le Surbooking Loi binomiale · Espérance · Optimisation par gain marginal 1.

Mise en place du modèle On note C la capacité de l'avion, n le nombre de billets vendus (avec n > C), et p la probabilité qu'un passager se présente à l'embarquement. On suppose que chaque passager prend sa décision indépendamment des autres.

Le nombre X de passagers qui se présentent effectivement suit alors une loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n, p).

Son espérance vaut E(X) = np et son écart-type σ(X) = √(np(1−p)). 2.

Espérance de gain 2.1 Construction de l'espérance La recette brute est certaine : en vendant n billets au prix π, la compagnie perçoit n·π euros. Le coût vient des compensations.

Si k passagers se présentent et que k > C, la compagnie doit refuser (k − C) personnes et verser d euros à chacune. On en déduit que le gain G est une variable aléatoire — il dépend de k, qui est la réalisation de X.

On ne peut donc pas parler du gain, mais seulement de son espérance, c'est-à-dire la moyenne observée sur un très grand nombre de vols. Par le théorème de transfert, l'espérance d'une fonction de X se calcule directement à partir de la loi de X : E(G) = n·π − d · Σ(k=C+1 → n) (k−C) · P(X=k) Le premier terme est la recette fixe.

Le second est le coût espéré des compensations, qui ne s'applique que lorsque k > C — d'où la borne inférieure C+1 dans la somme. 2.2 Calcul de P(X = k) Puisque X ~ B(n, p), on utilise la formule de la loi binomiale : P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) Le coefficient C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) compte le nombre de façons de choisir les k passagers qui se présentent parmi les n.

Le facteur p^k est la probabilité que ces k passagers viennent effectivement, et (1−p)^(n−k) celle que les n−k autres ne viennent pas. 3.

Optimisation par gain marginal 3.1 Principe Plutôt que de tâtonner sur les valeurs de n, on cherche la condition d'optimalité en raisonnant à la marge : vendre un billet supplémentaire est rentable si et seulement si l'espérance de gain augmente, c'est-à-dire si E(G_{n+1}) − E(G_n) > 0. 3.2 Calcul du gain marginal En écrivant explicitement les deux espérances : E(G_{n+1}) = (n+1)·π − d · Σ(k=C+1 → n+1) (k−C) · P(X_{n+1}=k) E(G_n) = n·π − d · Σ(k=C+1 → n) (k−C) · P(X_n=k) La difficulté est que les deux sommes portent sur des lois différentes — B(n,p) d'un côté, B(n+1,p) de l'autre — et ne peuvent donc pas être soustraites terme à terme.

On raisonne alors directement sur ce que change concrètement le (n+1)-ième passager. Ce passager supplémentaire rapporte π avec probabilité p (s'il se présente).

En revanche, il génère une compensation d uniquement si l'avion était déjà.... »