Sciences & Techniques: Les nombres complexes

« Sciences & Techniques: Le bestiaire des nombres Imaginez un bout de droite tout riquiqui.

Qui irait penser que là-dedans se cache une ribambelle de nombres aux propriétés étranges? Des bestioles insolites qui répondent aux noms de rationnels, algébriques ou transcendants, et dont les cousines se nomment complexes ou quaternions! Si vous ne le croyez pas, prenez donc un ticket pour visiter ce zoo en folie. N comme naturel Zéro, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… : si vous avez des difficultés à compléter cette suite de nombres, consultez vite un mathématicien.

Car c'est avec ces petites bêtes-là que nous, vous, moi, comptons les objets de tous les jours : les 5 doigts de la main, les 6 chaînes de télévision, les 12 coups de minuit… Pour cette raison, d'ailleurs, on a pris l'habitude de qualifier ces nombres de " naturels " ou d'" entiers naturels ".

Un digne mathématicien allemand, Leopold Kronecker, les croyait même l'œuvre de Dieu ! Pourtant, ne vous y fiez pas : les mathématiciens du XXe siècle ont défini l'ensemble des entiers naturels avec une rigueur qui n'appartient qu'à eux.

Avec un sens aigu de l'ordre, ils ont baptisé N l'ensemble des nombres naturels lorsqu'on y inclut le 0, et N* sans le 0. Le royaume des nombres naturels possède un grand sorcier capable de tout faire : le 1 ! L'air de rien, ce petiot raide comme un piquet est à la base de tous les autres entiers puisque n'importe lequel peut s'obtenir à partir de lui par additions successives.

Par exemple, 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Son rival, le 0, n'a pas ce pouvoir : il ne sert qu'à dénombrer le vide et vous pouvez toujours l'additionner à quelque chose, il n'engendrera rien de neuf : 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1… Décidons de dresser la lis-te complète des nombres entiers.

Trouvons-leur un support, par exemple une droite sur laquelle nous les alignerons comme à la parade.

Appelons " droite numérique " cette étagère à nombres.

La tâche est assez facile au début : un point, un nombre, un nouveau point, le nombre suivant, etc.

A gauche on démarre par le 0, et à droite on termine par… par quoi ? Quel est le dernier nombre ? Il n'y en a pas ! La suite des nombres naturels est illimitée. Dans la masse des nombres naturels, certains se distinguent par des propriétés étonnantes. Les nombres parfaits Les nombres parfaits sont égaux à la somme de leurs diviseurs dits "propres" (c'est-à-dire les diviseurs du nombre autres que luimême).

Ainsi, 6 est parfait car 6 = 1 + 2 + 3.

Tout ce que l'on sait à propos des nombres parfaits, c'est qu'il y en a fort peu.

Citons : 28, 496, 8128, 33550336… Les nombres amicaux Comme les tourterelles, les nombres amicaux vont par couples.

La somme des diviseurs propres de l'un est égale à l'autre.

Ainsi 220 et 284.

Les diviseurs de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 ; leur somme vaut 284.

Les diviseurs de 284 sont 1, 2, 4, 71, 142 : leur somme est 220.

Autres exemples : 17296 et 18416 découverts par Pierre de Fermat au XVIIe siècle. Les nombres premiers Les nombres premiers, eux, ne sont pas des amusettes, comme le sont les deux précédents.

Aux yeux du mathématicien ils ont autant d'importance que les particules de matière pour le physicien.

Ils sont les briques, les blocs élémentaires qui permettent de construire tous les nombres naturels.

Rien de moins !. »