qu'est-ce qui fait la rigueur et la fécondité du raisonnement mathématique

« Qu'est-ce qui fait la rigueur, qu'est-ce qui fait la fécondité du raisonnement mathématique ? Introduction.

— On reproche à la déduction syllogistique, dont les conclusions sont rigoureuses, de ne rien apprendre qui ne soit contenu dans les prémisses ; à l'induction, qui aboutit à des connaissances nouvelles, de ne pas conclure rigoureusement.

Le raisonnement mathématique, au contraire,.

évite ces deux défauts : il conclut avec rigueur et il est fécond.

Pourquoi ? I — SA RIGUEUR C'est bien à son caractère déductif que tient la rigueur du raisonnement mathématique.

Le raisonnement par récurrence, dans lequel Poincaré voyait la forme mathématique de l'induction, est en fait déductif En effet, dans le raisonnement mathématique les lois de la logique formelle sont rigoureusement observés, et la conclusion ne dépasse jamais ce qui est affirmé dans les prémisses. Mais on peut en dire autant de tout syllogisme correct.

Or — la métaphysique en est la preuve — il ne suffit pas de raisonner en forme pour faire admettre par tous les esprits la conclusion à laquelle on aboutit.

Pourquoi ? Souvent, parce que certains rejettent l'une ou l'autre des prémisses : dans ce cas, le raisonnement peut conclure rigoureusement, car la conclusion serait admise si les prémisses étaient acceptées.

Mais, dans d'autres cas, aucune des prémisses n'est formellement rejetée, et cependant la conclusion n'est pas admise parce que, des unes à l'autre, les termes changent plus ou moins de sens ou de valeur : on distingue et on sous-distingue, et, dans ce jeu de distinctions, la pensée est exposée à perdre de sa fermeté et de sa rigueur.

Rien de tel en mathématiques ; on pose au départ des définitions rigoureuses grâce auxquelles toute ambiguïté est impossible ; les quantités sont connues avec une précision qui bannit tout à peu près.

Aussi, quiconque admet les bases de départ ne peut refuser les propositions d'arrivée. Or, les données de départ du mathématicien sont d'autant lus facilement admises et définies avec précision qu'elles sont hypothétiques et non catégoriques.

Il me serait difficile de mesurer un angle à un millionième près, et ma mesure pourrait être discutée.

Mais rien de plus facile que de se donner par hypothèse un angle mesurant exactement 90 degrés. La rigueur des sciences mathématiques, tient donc au caractère hypothético-déductif de leur méthode. II.

— SA FECONDITE Il est assez courant d'opposer au raisonnement mathématique le syllogisme concluant du général au particulier, du type Tout homme est mortel...

» : raisonnement évidemment infécond et même constituant une pétition de principe, puisque la vérité de la conclusion doit être connue avant qu'on puisse formuler la majeure.

En mathématiques, au contraire, l'esprit procède d'une proposition universelle prise comme principe aux conséquences qui en découlent (non pas du triangle à tous les triangles, mais de la définition du triangle à ses propriétés, ou de quelqu'une de ces propriétés à une propriété identique de tous les polygones), et ces conséquences expriment, sans cercle vicieux, des connaissances nouvelles.

On peut, il est vrai, éviter l'objection faite au syllogisme en transformant la majeure de proposition générale valable pour tous les cas d'une espèce déterminée en une proposition formulant une loi ou un principe ; je puis dire : « L'homme est mortel », sans savoir explicitement que « Socrate est mortel », et cette proposition, conclusion du syllogisme, m'apprend quelque chose de nouveau, sans qu'on puisse me reprocher de commettre une pétition de principe. Il n'en reste pas moins que, même dans le syllogisme concluant du principe à la conséquence, celle-ci est implicitement contenue dans les prémisses et que, par suite, la nouveauté se réduit à l'explicitation d'une connaissance implicite.

La nouveauté de la conclusion du raisonnement mathématique est bien plus grande.

Pourquoi ? Parce que les mathématiques ayant pour objet la quantité, le raisonnement y procède de l'équivalent à l'équivalent.

La proposition syllogistique a pour copule « est ».

Dans l'équation mathématique, au contraire, les termes sont reliés par le signe = ou par quelque signe analogue.

Le verbe « être », qui exprime l'identité ou l'inhérence, nous fait rester sur place.

Au contraire, l'affirmation « est égal à augmenter notre savoir, car des choses égales peuvent être différentes. Conclusion.

— En définitive, les mathématiques ne constituent pas une sorte d'invention magique permettant d'obtenir des résultats inexplicables.

Ceux-ci s'expliquent par leur o jet dont la nature détermine la méthode à suivre pour le connaître. Ce qui fait la rigueur et la fécondité des mathématiques, c'est qu'elles se donnent leur objet, et un objet abstrait.. »