Pourquoi les mathématiques resemblent-elles à un langage ?

« Termes du sujet: LANGAGE : 1) Faculté de parler ou d'utiliser une langue.

2) Tout système de signes, tout système signifiant, toute communication par signes (verbaux ou non verbaux).

Le langage désigne aussi la totalité des langues humaines. MATHÉMATIQUE: ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités.

Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible. On parle souvent des mathématiques comme d'un langage à partir d'un certain niveau de formalisation.

Dans les mathématiques, on peut concevoir : - un alphabet/vocabulaire (ensemble de signes qu'on a le droit d'utiliser dans les énoncés mathématiques) ; - quelques axiomes (et aussi des définitions), des propositions de base non démontrables ; - quelques règles d'inférence qui règlent le passage d'une proposition à une autre (comment on substitue tel signe à tel autre), en somme une syntaxe ; - à partir de là, une infinité de propositions, des théorèmes, des résultats de séries d'inférences rigoureux à partir des axiomes et des définitions, ou à partir d'autres théorèmes.

Vocabulaire, syntaxe.

Tout cela ressemble beaucoup à un langage.

Mais les mathématiques ainsi présentées ressemblent à une démarche purement mécanique où l'on déduit des chaînes de caractères d'autres chaînes en fonction de certaines règles, sans aucun rapport à des objets.

C'est là l'essentiel de la question : les maths sont-elles un enchaînement formel de propositions vides de sens, ou bien ont-elles un rapport à un objet mathématique ? Et où situer cet objet : dans l'esprit humain, dans un " ciel des Idées " ? Et ce rapport est-il à priori (une sorte de réalité fonderait les axiomes), ou bien à posteriori (on donne un contenu à modèle formel constitué) ? Peut-on vraiment parler de langage pour un calcul qui serait dépourvu de sens ? éléments de réflexion • A « la limite », certains prétendent qu'il n'existerait pas de « langue » mathématique. Ils acceptent, évidemment, l'idée que les mathématiques usent de signes ou de « symboles » qui leur sont propres et même qui peuvent être déchiffrés par n'importe quel mathématicien quelle que soit sa langue maternelle.

Mais ils font remarquer que ces signes ou symboles ne sont — selon eux — que des abrégés, des notations de la langue commune : plus, multiplié par, égal, infini; etc. La « langue » des mathématiques, ce serait la langue de tout le monde mais écrite au moyen d'une sorte de sténographie... • Réflexions sur l'algèbre : — Pour Viete et même pour Descartes, inventeurs de l'algèbre, celle-ci ne représenterait qu'un progrès dans la notation arithmétique.

Regardons-y de plus près. — Nous nous référons aux nombres par l'intermédiaire de vocables ou de figures graphiques que nous appelons « chiffres ».

Par exemple : un, deux, trois...

1, 2, 3...

Évidemment ni le mot ni le chiffre ne sont le nombre.

Ils n'en sont que les représentants. Chaque fois que, le sachant, nous employons une « chose » à la place d'une autre pour représenter cette dernière, nous faisons de la première un signe, ou mieux un symbole de l'autre...

Dans ce sens, les vocables et les chiffres ont toujours été les symboles des nombres.

Mais il faut noter que chacun des mots un, deux, trois, et chaque chiffre 1, 2, 3 est symbole d'un seul nombre.

Nous avons donc besoin d'autant de symboles qu'il y a de nombres. Quand il y a le même nombre de symboles que de choses « signifiées », on dit que le symbole est un « nom ».

Ainsi 4 est le « nom » individuel d'un nombre individuel. — Par contre si l'on dit : soit x un nombre égal au nombre b plus le nombre c, la situation a changé complètement. x, b et c ne sont pas les noms individuels de nombres individuels.

Chacune de ces lettres représente n'importe lequel des nombres. L'algèbre est une arithmétique qui, au lieu de s'occuper des nombres eux-mêmes, s'occupe seulement de ses signes en tant que signes des nombres. — Autrement dit, la formule algébrique consiste à définir ou à déterminer la valeur d'une lettre par le fait qu'elle est égale, plus grande ou plus petite que la valeur d'autres lettres.

La lettre isolée n'a aucune valeur, ne signifie rien ; plus précisément : elle signifie la position de pure obligation dans laquelle nous la mettons d'acquérir une valeur déterminée, une signification précise, en entrant avec d'autres lettres dans un système de relations, qui leur confère à elles aussi une valeur déterminée.

Dans l'équation, les nombres se déterminent, c'est-à-dire se définissent mutuellement. En résumé, on peut dire (ce qui n'est pas de mince importance polir le sujet qui nous est proposé) : — que le nombre consiste en de pures relations (l'algèbre le fait voir) ; — que le nombre y est explicitement remplacé par sa définition. Autrement dit, conséquence de ces deux points, l'algèbre nous oblige à n'interpréter le nombre que selon les termes de sa définition et le libère ainsi, dans chaque cas donné, de sa valeur « infinie », confuse et incontrôlable et en fait une valeur purement logique.

Cette réflexion sur l'algèbre nous révèle (par son caractère exemplaire) que le concept mathématique n'est que relations logiques, concept sans équivoque apte à fonctionner dans les opérations logiques, les opérations de déduction. — Les éléments de « la langue mathématique » sont ainsi définis rigoureusement (et dans l'algèbre en particulier) explicitement.

Ils sont univoques, de pures relations.

Ils sont de pures créations logiques et en vue d'un discours. »