Peut-on tout démontrer ?

« THEMES DE REFLEXION • Une démonstration est une déduction destinée à prouver la vérité de sa conclusion en s'appuyant sur des prémisses reconnues ou admises comme vraies. • On peut alors se demander alors si toutes les prémisses possibles peuvent être démontrées ? Par exemple, en mathématiques, lieu privilégié de la démonstration, de la déduction. Il est intéressant à cet égard de voir quel a été le point de départ des géométries non-euclidiennes. Elles sont nées des tentatives infructueuses de démonstration de la «vérité» du postulat d'Euclide.

Une démonstration directe consisterait à démontrer que le postulat d'Euclide — non évident par lui-même — peut logiquement se déduire des autres axiomes de la géométrie euclidienne.

Dans la mesure où la démonstration directe paraissait impossible, les mathématiciens tentèrent la démonstration par l'absurde.

Elle consistait à admettre tous les principes de la géométrie euclidienne à l'exception du seul postulat des parallèles (remplacé par un postulat différent) et à tenter d'édifier logiquement une géométrie euclidienne : on pouvait penser aboutir : — soit à des conclusions contradictoires avec les autres principes, ce qui démontrerait la dépendance du postulat d'Euclide à l'égard des autres principes (dans l'exacte mesure où il serait devenu un «théorème démontré»), — soit à des conclusions non contradictoires avec les autres principes, ce qui démontrerait l'indépendance du postulat d'Euclide et par conséquent son caractère indémontrable.

On sait que ces tentatives ont abouti à la dernière conclusion, c'est-à-dire au caractère indémontrable (et non seulement indémontré) du «postulat d'Euclide». On sait également que cette crise « 'non-euclidienne » a également amené mathématiciens et logiciens à bouleverser la définition des principes et à poser que tout principe mathématique est axiome. Cf.

« Vocabulaire de Lalande» : «Toute proposition qui ne se déduit pas d'une autre, mais que l'on pose par un acte dérisoire de l'esprit au début de la déduction.

» (Les mots mis en relief (gras) le sont par nous). Autrement dit il est clair que, même en mathématiques, l'on ne peut tout démontrer. • N'est-il pas encore plus aisé d'établir que dans les sciences de la nature, par exemple, dans la mesure où elles impliquent pour le moins l'induction, «tout ne peut être démontré» ? • Les principes mêmes de la démonstration peuvent-ils être démontrés ? Tenter de démontrer les principes mêmes de la démonstration ne serait-ce pas tomber dans la grave faute logique de « la pétition de principe?» (puisque l'on devrait employer dans la démonstration ce qui est précisément à démontrer.) • Ne nous trouvons-nous pas ici devant une difficulté toute particulière (et «étrange») à savoir que c'est au regard des principes de la démonstration qu'il apparaît qu'il est impossible de démontrer la valeur des principes de la démonstration... • On pourrait à partir de là réfléchir sur le sens de la question et ce qu'elle permet de découvrir (paradoxalement) sur le sens et la valeur de la démonstration. INTRODUCTION Chercher à démontrer est l'idéal de toute connaissance toutefois la démonstration n'est possible qu'à partir de données précises qui sont le nombre et la mesure.

Toute la réalité humaine ne peut être exprimée de façon complète et satisfaisante sous cette forme.

Dès lors chercher à tout démontrer est une tâche impossible, même si au XVIIème siècle on a pu penser y parvenir. La raison doit permettre à l'homme de connaître l'univers entier sur un mode démonstratif. Il convient de définir l'opération de la démonstration.

Celle-ci consiste à tirer nécessairement, c'est-à-dire selon une règle, une proposition d'une autre proposition connue comme vraie, qu'elle soit ou non démontrée.. »