Peut-on appeler les mathématiques une science conventionnelle ?

« SUJET : Peut-on appeler les mathématiques une science conventionnelle ? Introduction.

— Définition des mathématiques.

Le grand mathématicien philosophe Henri Poincaré a posé la question de savoir si les mathématiques ne sont pas une science conventionnelle.

Une convention, c'est un accord entre les hommes.

Par exemple, les gestes de politesse sont conventionnels : il est, chez la plupart des Européens, poli d'ôter sa coiffure ; mais on aurait pu convenir qu'il est poli de la garder, comme il arrive en certains milieux orientaux.

— Les mathématiques sont-elles conventionnelles en ce sens-là ? 1e partie.

— Il semble qu'elles le soient (il ne s'agit pas, bien entendu, du fait qu'elles sont exprimées nécessairement, comme toutes nos affirmations, en un langage conventionnel). A.

— Les définitions ne s'imposent pas logiquement; elles sont des conventions. B.

— Les postulats sont, par définition même, des conventions. C.

— La démonstration n'est pas, comme on l'a cru longtemps, une pure et simple application mécanique de la logique formelle ; il s'agit d'une déduction constructive : « déduire c'est construire » selon Goblot ; on a même le choix entre différentes démonstrations, dont certaine sont jugées plus élégantes que d'autres. 2° partie.

— Cependant il ne faut pas exagérer le caractère conventionnel des mathématiques. A.

— En fait, les définitions, bien qu'aujourd'hui construites par l'esprit, sont sorties de l'expérience, et imposées par elle; certaines propositions mathématiques en sont aussi venues.

Au XVIIe siècle même, Galilée trouve que l'aire de la cycloïde est triple de celle du cercle générateur en pesant deux lames de même matière et de même épaisseur. B.

— Le postulat d'Euclide est justifié par l'expérience ; et il n'y aurait jamais eu de géométries non-euclidiennes s'il n'y avait pas eu d'abord une géométrie euclidienne 4. C.

— Les axiomes, qui jouent un rôle capital dans la démonstration, représentent une nécessité logique, rationnelle, donc n'ont rien de conventionnel. Conclusion.

— Sorties de l'expérience, et oeuvres de raison, les mathématiques ne peuvent être qualifiées de conventionnelles, au sens banal du mot convention.

Si on les appelle, cependant, conventionnelles, il faut bien préciser, — comme l'a fait Henri Poincaré, — qu'elles ne sont pas arbitraires.

"Nos décrets sont ceux d'un prince absolu mais sage, qui consulterait son Conseil d'Etat".. »