Mathématiques et Vérité ?

« Le rapport mathématiques/vérité est complexe: il peut avoir plusieurs sens.

Les mathématiques peuvent être considérées, par exemple comme un modèle de méthode pour la connaissance (les enchaînements) ou comme donnant un modèle d'évidence (l'intuition), et donc comme la reine des sciences... 1) les mathématiques sont un modèle de cohérence... En un sens, on peut dire que les mathématiques sont en effet le royaume de la vérité! Mais que veut dire "vérité" ici? Les mathématiques sont d'abord "toujours vraies" au sens où il n'y a pas de place pour le faux.

Lorsqu'un mathématicien découvre une erreur dans ses démonstrations, c'est qu'il s'est trompé lui, en tant que homme, qu'il n'a pas su suivre jusqu'où bout les règles de la déduction mathématique.

Les mathématiques en elles-mêmes sont toujours vraies.

C'est peut-être pour cela que Spinoza a pu y voir un modèle d'évidence: "une autre norme de vérité". C'est qu'elles n'ont pas par exemple à retrouver quelque chose qui leur préexiste: une définition est génétique, elle engendre une réalité (voir plus haut, citations de Kant).

Dans les autres domaines que les mathématiques, le faux tient à ce que "ce qui est dit" ne colle pas tout à fait avec "ce dont on parle".

En mathématiques, ce n'est jamais possible: le discours semble être toujours adéquat avec le réel, vu qu'il engendre ce réel. Par ailleurs, les mathématiques sont un modèle de rigueur: rien n'est avancé qui n'ait été rigoureusement prouvé.

La découverte de nouveaux théorèmes ne fait que transmettre, tout au long de la déduction, l'évidence qui est celle des définitions.

Voir la méthode de Descartes qui ne fait qu'appliquer ce modèle mathématique.

Tout au long, la raison contrôle le raisonnement: rien n'est avancé qui n'a été démontré. 2) ...

mais on ne peut pas parler de vérité au sens d'adéquation! En fait, il y a deux sens possibles de "vérité".

Pour que ce qu'on dit soit vrai, il faut que ce soit cohérent, qu'il n'y ait pas de contradiction.

Et les mathématiques sont absolument vraies en ce sens.

Mais ce n'est qu'une condition négative. Il faut en plus que ce que je dis corresponde à l'état actuel des choses, qu'il y ait adéquation.

Et c'est là le plus difficile! Pour illustrer cette distinction: si je dis "il fait beau", pour que ce que je dis soit cohérent, il suffit que la grammaire soit respectée dans la phrase.

Mais pour être réellement vraie, il faut en plus qu'à ce moment-là, il fasse effectivement beau! La vérité, telle qu'on l'entend au sens courant, c'est cela, l'adéquation du discours à la chose. Or en mathématique, il ne peut jamais y avoir adéquation, pour la simple raison que le discours et la chose ne se distinguent pas.

La seule vérité possible, en mathématiques, c'est la cohérence, la rigueur du raisonnement qui n'a jamais besoin de se confronter à une réalité extérieure pour vérifier sa véracité.

Voir encore une fois l'exemple de la définition plus haut: elle est d'avance vraie. C'est pour cela que la formule de Spinoza est paradoxale: il propose comme modèle de l'adéquation, ce qui est une simple cohérence! Conclusion: les mathématiques sont donc bien le royaume de la vérité, une "autre norme de vérité", mais d'une part, elles ont beau jeu à l'être (elles n'ont qu'à être cohérentes pour être vraies), et ce modèle de rigueur est inapplicable tel quel dans le réel (où on veut plus que la simple cohérence: l'adéquation).

Enoncer une vérité mathématique revient un peu à une tautologie, comme dans la phrase "je dis la vérité".

Cette phrase n'est ni vraie ni fausse, elle manque simplement d'un référent pour être susceptible de vérité ou d'erreur. 3) que faire des mathématiques? Est-ce que cela veut dire que les mathématiques sont inutiles, qu'elles ne sont pas le modèle de science qu'on croit? On pourrait dire qu'elles restent un modèle: c'est bien le royaume de la vérité, et elles proposent bien une "autre norme de vérité", mais ce modèle reste un simple modèle idéal, il est inapplicable dans le monde réel.

La simple cohérence n'est pas la vérité qu'il faut pour la connaissance de la nature, c'est une vérité vide qui demande encore à être appliquée (en physique par exemple). Pour la physique, la connaissance de la nature qui nous entoure, elles restent un auxiliaire irremplaçable.

La. »