Le formalisme de la mathématique fournit-il le modèle d'une logique universelle ?

« Cette thèse énonce le principe de formalisation logique. C'est là une théorie portant sur la nature du vrai : le vrai ne procède pas de l'intuition qui, par définition, est subjective, mais des règles formelles de maniement de signes arbitraires (symboles logiques).

Ainsi le réel est-il connaissable en vérité grâce à la seule logique formelle indépendamment de toute intuition intellectuelle ou sensible. Il est dès lors possible de concevoir une "caractéristique universelle" (Leibniz), telle que ce n'est pas le contenu de la proposition, mais sa forme logique qui garantit l'évidence vraie. [] 1.

Problématisez : La force du rationalisme classique, notamment grâce à Descartes, tient à ce qu'il établit fermement les règles méthodiques d'une pensée qui justifie ses énoncés et les démontre.

On découvre ainsi que penser c'est mettre un ordre dans les choses : "l'ordre des raisons". 2.

Commentez : C'est pour une grande part en réfléchissant à la nature du raisonnement mathématique que la raison moderne a pu se constituer elle-même.

Et c'est ce qui amena les penseurs classiques (de Descartes à Leibniz) à s'interroger sur l'universalité de la pensée mathématique. LES MATHÉMATIQUES COMME MODÈLE D'ENCHAîNEMENT DÉDUCTIF Apodicticité de la démonstration mathématique. a) Descartes déclare, dans son Discours de la Méthode, qu'entre toutes les sciences, les mathématiques l'attirèrent « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». La mathématique rassemble toutes les sciences où l'on étudie l'ordre et la mesure, indifféremment de leurs objets.

La science universelle qui rassemble toutes les autres sciences, qui n'en sont que les parties subordonnées, se nomme mathématique universelle.

Ce doit être la science la plus utile et la plus facile de toutes, n'ayant aucun rapport à un objet particulier. Les difficultés qu'elle renferme se trouvent déjà dans les autres sciences, puisqu'elle leur est commune.

Si cette mathesis universalis a été négligée par tous, c'est en raison de son extrême facilité.

L'ordre de la recherche de la vérité requiert pourtant de commencer par les choses les plus simples et les plus faciles à connaître, et de ne passer à un ordre plus élevé que lorsque toutes les difficultés auront été résolues.

Ainsi, on est sûr de ne jamais se tromper.

Parmi les sciences connues, seules l'arithmétique et la géométrie sont absolument certaines.

Quelle en est la raison ? Nous ne pouvons connaître que de deux manières : soit par l'expérience, soit par la déduction. Si l'expérience est souvent trompeuse, la déduction, qui consiste à inférer une chose à partir d'une autre, peut être manquée si on ne la voit pas, mais ne peut jamais être mal faite.

"Toutes les erreurs où peuvent tomber les hommes ne proviennent jamais d'une mauvaise inférence, mais seulement de ce qu'on admet certaines expériences mal comprises, ou que l'on porte des jugements à la légère et sans fondement." Arithmétique et géométrie sont les seules sciences qui traitent d'un objet simple et pur et qui n'admettent rien d'incertain : leur travail ne consiste qu'à tirer des conséquences par voie de déduction rationnelle.

Leurs erreurs ne peuvent procéder que de l'étourderie.

Elles doivent par conséquent constituer l'idéal des sciences pour leur rigueur, leur clarté et leur certitude. b) Science abstraite, qui fait l'unanimité de ceux qui la pratiquent, la science mathématique apparaît comme un modèle d'intelligibilité auprès des autres sciences. Généralité et abstraction des objets mathématiques. a) Généralité : les mathématiques, dit Descartes, sont « une science générale qui explique tout ce qu'il est possible de rechercher touchant l'ordre et la mesure, sans assignation à quelque matière particulière que ce soit » (Règles pour la direction de l'esprit, 1629).

Elles ne considèrent, dans le domaine où on les applique, « que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent » (Ibid ) b) Abstraction : A propos des objets dont elles traitent, les mathématiques ne se mettent guère en peine de. »