Démontrer et prouver, est-ce la même chose ?

« Termes du sujet: DÉMONSTRATION: Opération mentale, raisonnement qui consiste à établir la vérité d'une proposition en la rattachant à d'autres propositions évidentes ou déjà admises comme vraies. CHOSE (n.

f.) 1.

— Désigne la réalité (res en latin : chose) en gén.

; cf.

DESCARTES : « chose pensante » (âme), « chose étendue » (matière). 2.

— Désigne la réalité, envisagée comme déterminée et statique, existant hors d e la représentation ; en ce sens, KANT utilise l'expression « chose en soi ». 3.

— (Par ext.) À partir du sens 2, désigne la réalité inanimée, hors de son rapport à la pensée (le monde des choses).

Rem.

: la chose se distingue d e l'objet en ce q u e ce dernier est construit ; cela n'implique pas que la chose soit chose en soi ; ce qui est chose se constitue comme ce qui est maniable, ce qui est disponible ; autrement dit, l'objet se réfère à la pensée, la chose à l'action ; le monde des choses, c'est le monde qui se détermine dans la pratique, et y résiste ; à partir du sens 3, le réaliste confond volontiers la chose et l'objet (cf.

DURKHEIM : « Il faut considérer les faits sociaux comme des choses »).

4.

— Chosisme : attitude qui consiste à considérer la réalité comme une chose au sens 2. Prouver: témoigner, attester la vérité ou la véracité, manifester, montrer.

Être l'indice, la preuve, le signe de: une preuve est ce qui sert à établir qu'une chose est vraie. Démontrer et prouver ont un même but : établir la vérité d'une proposition.

Toutefois, ces deux opérations mentales sont distinctes.

Le verbe prouver dérive du latin probare qui signifie « approuver » mais aussi « faire approuver ».

Il s'agit donc d'éprouver, de mettre à l'épreuve une proposition qui, au premier abord, ne va pas de soi.

Et si la preuve réussit à faire approuver la proposition qu'elle appuie, elle ne constitue pas toutefois une garantie absolue contre toute erreur.

En outre, si la preuve nous assure que la réalité est conforme à la proposition qu'elle justifie, elle ne montre pas pourquoi il en est ainsi.

C'est là le propre de la démonstration. Le verbe démontrer dérive du latin demonstrare qui signifie montrer en partant de.

Ici, il ne s'agit pas d e mettre à l'épreuve une affirmation douteuse.

O n peut d'ailleurs démontrer dans le seul but d e montrer, c'est-à-dire d e faire mieux voir ou comprendre.

O n remarque aussi le préfixe de que l'on retrouve dans le verbe déduire.

C o m m e un système déductif, la démonstration suppose un ensemble de propositions - on dit aujourd'hui, en mathématiques, une axiomatique - constituant des principes, c'est-à-dire la base assurée d'où l'on part et d'où la conclusion suit nécessairement. L'usage des mots démontrer et prouver confirme ces distinctions.

On ne parle guère de démonstration qu'en mathématiques.

Ailleurs on parle de prouver.

En métaphysique, par exemple, on parle des preuves de l'existence de Dieu.

Le pluriel est d'ailleurs intéressant.

Qu'il s'agisse de l'existence d e Dieu ou des faits humains, il est rare qu'une preuve suffise.

Devant les tribunaux, l'accusation cherche à multiplier les preuves dans l'espoir que, d e probabilités convergentes, résultera l'approbation.

En mathématiques, une démonstration suffit à elle seule à établir un théorème, même si d'autres démonstrations du même théorème sont possibles. La démonstration suppose une démarche où tout est clair parce qu'elle ne contient que ce que la pensée y a mis par convention.

Une telle démarche n'existe, à strictement parler, que dans les mathématiques.

En revanche, quand on est en présence d'un donné préexistant, de quelque nature qu'il soit - un crime, une éclipse d e lune - on ne peut le connaître qu'en l'observant, en formulant des hypothèses explicatives dans le contrôle desquelles interviennent la ou les preuves. INTRODUCTION.

— « Démontrer » et « prouver » désignent tous deux, l'opération mentale par laquelle on établit la vérité d'une proposition.

Par suite, ces deux verbes peuvent être synonymes : ainsi dans la bouche du géomètre, « je prouve mon théorème » est presque aussi courant que « je le démontre ». Il est, toutefois plus ordinaire que l'on établisse une distinction entre ces deux mots : l'avocat, par exemple, estimera avoir prouvé le bon droit de son client; il ne parlera pas de « démonstration »; que si, d'aventure, il emploie ce terme, on estimera ou bien qu'il s'exprime improprement, ou bien qu'il veut souligner par là le caractère particulier des preuves apportées. Commençons par comparer les étymologies — cette comparaison est susceptible d e nous mettre sur la voie d'observations essentielles, — et par l'étymologie de « prouver » qui est à la fois plus simple et plus usuel. A) Le verbe prouver dérive du latin prolare qui signifie « approuver » mais aussi « faire approuver », établir qu'une proposition mérite qu'on y adhère qu'on lui fasse confiance; pour cela, comme l'ingénieur des Ponts et Chaussées qui réceptionne un ouvrage construit par une entreprise privée, on la soumet à l'épreuve, on l'éprouve ou, plus simplement on prouve qu'elle répond aux stipulations du cahier des charges. Ainsi l'assertion que l'on entreprend de prouver suscite ou pourrait susciter un certain doute, du moins n'est-elle pas évidente.

Sinon, on ne perdrait pas son temps à la prouver. Il n'est pas dit d'ailleurs que la preuve procurera l'évidence que désire l'esprit, l'évidence de la proposition elle-même.

Il n'est pas rigoureusement certain qu'après avoir résisté aux épreuves prévues par le cahier des charges le pont ne s'écroulera pas un jour sous un poids bien inférieur à celui du jour des essais; du moins, l'expérience faite, l'Etat n'aura pas de raison justifiant un refus de l'ouvrage commandé.

De même, la preuve, si elle prouve effectivement, donnera l'évidence qu'il est raisonnable de tenir pour vraie la proposition qu'elle appuie ou m ê m e qu'il serait tout à fait déraisonnable d e la considérer comme douteuse; elle ne constitue cependant pas une garantie absolue contre toute erreur. De plus, la preuve nous assurerait-elle d'une façon Certaine que la réalité est bien conforme à l'assertion qu'elle justifie, elle ne fait pas voir ou ne nous montre pas pourquoi il en est ainsi : c'est là le propre de la démonstration. b) Démontrer est calqué du latin demonstrare, qui signifie : montrer en partant de.

Ici, il ne s'agit pas de mettre à l'épreuve une affirmation pouvant laisser quelque doute dans les esprits; du moins la possibilité d'un tel doute n'est-elle pas nécessaire pour déclencher l'opération démonstrative; on peut démontrer dans le seul but d e montrer, c'est-à-dire d e faire mieux voir ou mieux comprendre.

Ainsi, le mathématicien démontre des propositions dont personne ne doute, parce qu'elles sont évidentes.

La démonstration consiste alors à déduire la proposition à démontrer d'autres propositions plus simples, l'insérant ainsi dans un système logique et dont la cohérence permet de mieux voir l'évidence des éléments qui le constituent. Il convient aussi de remarquer le préfixe de, à partir de.

Cette particule suggère la fermeté du point de départ.

On la retrouve dans le verbe déduire et ce rapprochement n'est pas tout à fait fortuit : effectivement, on démontre par déduction.

C o m m e un système déductif, la démonstration suppose un ensemble de propositions — on dit aujourd'hui : une axiomatique — mises par hypothèse hors de toute discussion et constituant par là même des principes au sens étymologique du mot, c'est-à-dire la base assurée d'où l'on part et d'où la conclusion suit nécessairement. Ainsi, en réfléchissant sur leur étymologie, nous avons vu les verbes « démontrer » et « prouver » s e différencier nettement. Toutefois, il convient d e le noter, nous n'aurions p a s p u établir une différenciation aussi nette si nous ne nous étions pas référé implicitement à l'usage.

Une considération explicite de l'usage précisera encore la distinction établie.. »