Exercice loi binomiale

« Tspe Math Loi binomiale Activités et exos Exercice 1 : Variables aléatoires On propose le jeu suivant : On lance deux dés tétraédriques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 4.

Le prix du jeu est fixé à 1 €. • Si la somme des dés est égale à 5, le joueur gagne 2 €. • Si la somme est égale à 4 ou 6 le joueur gagne 1 €. • Dans les autres cas, il ne gagne rien. Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Par exemple, sur l'image jointe, le joueur a gagné 2 –1 = 1 €. 1) Quelles sont les valeurs prises par X ? 2) Donner la loi de probabilités de X. 3) Calculer l'espérance de gain du joueur.

Le jeu est-il équitable ? Exercice 2 : Probabilités conditionnelles... On réalise des contrôles antidopage auprès de coureurs cyclistes.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des coureurs, on appelle T l’événement « le contrôle est positif » et d’après les statistiques, on a p(T) = 0,05. On appelle D l’événement « le coureur est dopé ». Le contrôle antidopage n’est pas fiable à 100 % et on sait que : → si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97 % des cas. → si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1 % des cas. 1) Calculer p(D). 2) Un coureur est contrôlé positif.

Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ? Activité : Tir à la carabine Un tireur à la carabine effectue un tir.

On admet que le tireur atteint sa cible une fois sur trois.

On considère que le tir est un succès si la cible est atteinte.

On appelle S l’événement « le tir est un succès » et l’événement contraire qui correspond à l’échec. 1) Le tireur effectue quatre tirs successifs.

On considère que les tirs s’effectuent indépendamment les uns des autres.

C’est-à-dire dans les mêmes conditions.

Construire l’arbre pondéré modélisant ce schéma. 2) Dans le tableau suivant, on reporte le nombre de chemins réalisant k succès.

Compléter le tableau suivant : Nombre de succès k k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 Nombre de chemins réalisant k succès On appelle X la variable aléatoire qui à chaque expérience associe le nombre de succès. 3) a.

Calculer la probabilité de l’événement : « Les deux premiers tirs sont des succès et les deux suivants des échecs ». b.

Calculer la probabilité de l’événement : « le premier et le dernier tir sont des succès et les deux autres des échecs ». c.

Calculer la probabilité de l’événement : « Les deux premiers tirs sont des échecs et les deux suivants des succès ».

Que remarquez-vous ? d.

D’après le tableau, combien de chemins de l’arbre réalisent l’événement : « le tireur réalise deux succès » ? En déduire P(X = 2) . Pour aller plus loin, du côté de chez Pascal... On considère maintenant que le tireur effectue 5 tirs successifs et indépendants les uns des autres.

On souhaite calculer le nombre de chemins de l’arbre obtenu qui réalisent 3 succès. 4) a.

Parmi les chemins, combien réalisent 3 succès et finissent par S ? b.

Parmi les chemins, combien réalisent 3 succès et finissent par S̄ ? c.

En déduire le nombre de chemins de l’arbre qui réalisent 3 succès. Tspe Math – Loi binomiale - Activités et exos - page 1 5) a.

A l’aide des résultats des questions précédentes, complétez le tableau ci-dessous, permettant de déterminer le nombre de chemins réalisant k succès parmi les n expériences réalisées. \k n k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 b.

Conjecturer une relation entre (nk) (kn+1) , et (n+1 k+1) . Exercice 1 : On lance cinq fois, de façon indépendante, une pièce de monnaie bien équilibrée. X est la variable aléatoire qui indique le nombre de « PILE » obtenus lors de 5 lancers. Y est celle qui donne le rang du premier « PILE » (s'il n'apparaît pas, Y prend la valeur 0). 1) Est-on ici en présence d'un schéma de Bernoulli ? 2) Les variables aléatoires X et Y suivent-elle une loi binomiale ? Si oui, préciser les paramètres. Exercice 2 : Des études statistiques ont montré qu'à la naissance, la probabilité d'avoir un garçon est égal à 0,51.

On rencontre au hasard une famille de 3 enfants, dont les naissances sont supposées indépendantes.

On s'intéresse au nombre de garçons. 1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de garçons.

Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité de X. 2) Quelle est la probabilité que cette famille ait au moins un garçon, 3) On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante 10 familles de trois enfants (les hypothèses sont les même que dans le début de l'exercice). Calculer la probabilité que neuf familles exactement sur les dix aient au moins un garçon. Exercice 3 : * Dans une fabrication en série, 2 % des pièces sont défectueuses.

On prend au hasard 100 pièces.

On considère que le tirage de toutes les pièces obéit à un schéma de Bernoulli. 1) Quelle est la probabilité pour cet échantillon ne contienne aucune pièce défectueuse ? 2) Quelle est la probabilité pour cet échantillon contienne exactement une pièce défectueuse ? 3) Quelle est la probabilité pour cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse ? 4) Calculer l'espérance de la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées. Tspe Math – Loi binomiale - Activités et exos - page 2 Extrait sujet BAC : Antilles-Guyane - juin 2016 Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B.

La machine A fournit 65 % de la production, et la machine B fournit le reste.

Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication : — à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut ; — à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut. On définit les évènements suivants : — A : « l’ampoule provient de la machine A » ; — B : « l’ampoule provient de la machine B » ; — D : « l’ampoule présente un défaut ». 1.

On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée. a.

Construire un arbre pondéré représentant la situation. b.

Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans.... »