Cours maths équations et inéquations du second degré 1ère

« Spé 1ère – L5 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I- ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ : 1) FORME CANONIQUE D’UNE FONCTION POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ : Propriété : Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par f ( x )=a x 2+ b x + c , où a , b et c sont trois réels tels que a≠0 . Alors, il existe deux réels α et β tels que : f ( x )=a (x −α )2+ β . a ( x−α )2 + β est la forme canonique du polynôme a x 2 +b x +c . Exemple : Soit f (x )=x 2−4 x+7 .

On a f (x )=( x−2)2−4+ 7=(x −2)2 +3 . Démonstration : Soit la fonction polynôme f telle que f (x )=a x 2 +b x+ c , où a est un réel non nul. ( ) b c En mettant le coefficient a en facteur, on obtient : f (x )=a x 2 + x + . a a b b On peut alors considérer x 2 + x comme le début du développement du carré x + a 2a 2 2 2 2 b b b b b b =x 2+ x+ 2 . en effet, x + , d’où x + =x 2+ 2 x × + 2a a 2a 2a 2a 4a 2 2 b b b − 2. On en déduit que x 2 + x= x + a 2a 4a ( D’où ) ( ) ( ) ( ) f (x )=a ( x + ) − [ 2ba 4ba + ca ] a f (x )=a ( x + ) − [ 2ba 4ba + c×4 a×4 a ] b b −4 a c f ( x )=a ( x + ) − [ 2a 4a ] b b −4 a c f (x )=a×( x + ) −a× 2a 4a ( ) ( ) 2 : b c f (x )=a x 2 + x + a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) f (x )=a x − (égalité qui resservira, dans la suite de ce cours...) (en distribuant le facteur a sur les termes dans les crochets) 2 −b 2 −(b −4 a c ) + 2a 4a ⏟ ⏟ α On pose alors α = (on réduit au même dénominateur) β −(b2−4 a c) −b β = et , ce qui permet d’obtenir f (x )=a ( x−α )2 + β . 4a 2a Conséquence : Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par f ( x )=a x 2+b x + c , où a , b et c sont trois réels tels que a≠0 , et soit α et β les deux réels tels que : f ( x )=a (x −α )2+ β . −b Alors α = et β = f (α ) . 2a L5 – Équations et inéquations du second degré 1/8. »