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Quel est le rôle des mathématiques dans l'ensemble des sciences ?

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« Dans sa classification, A. Comte range les sciences en série ascendante, d'après le degré de complexité de leur objet, de sorte que chaque science dépend des vérités de toutes celles qui la précèdent. Il semble en résulter que toutes les sciences reposent sur les mathématiques, et une interprétation, d'ailleurs erronée, n'hésite pas à déclarer que le positivisme est, selon le mot de Guizot, « un pur mathématisme ». A. Comte lui-même s'est élevé maintes fois contre cette accusation, qui est contraire à l'esprit et au texte de son Cours de philosophie positive. Mais s'il est inexact de dire que toute science est réductible aux mathématiques, il ne le serait pas moins de nier le rôle de ces dernières, qui sont, d'après A. Comte « l'instrument indispensable de toutes les sciences ». Il est évident, tout d'abord, que les mathématiques pures sont la base essentielle des sciences qui, comme l'astronomie, ne sont que des applications directes de la « mesure des grandeurs ». Depuis Newton, les rapports, les mouvements et les lois des corps célestes sont réduits en formules précises qui permettent au savant de déterminer l'état du ciel à n'importe quel moment du temps, sans avoir recours à des données autres que celles des mathématiques. Mais les autres sciences, et en particulier les sciences expérimentales, peuvent, de même, tirer parti de l'appui que leur prêtent les mathématiques. 1° La simplicité et la clarté de la langue mathématique vont permettre au physicien d'exprimer, en formules précises, les lois qu'il aura découvertes par la méthode expérimentale. En particulier les fonctions algébriques et leur représentation graphique sont d'une grande utilité pour l'expression des lois physiques. Selon H. Poincaré, « les mathématiques fournissent la seule langue que le physicien puisse parler ». 2° D'autre part, la démonstration mathématique est utile comme moyen indirect de vérification des hypothèses que l'expérience ne peut prouver directement : le développement logique de leurs conséquences permet de chercher si elles répondent à des faits connus. Pour cela, ou déduit de l'hypothèse à vérifier une conséquence spéciale et l'on confronte cette conséquence avec les faits pour s'assurer si les résultats ainsi obtenus de deux façons différentes sont concordants. 3° La déduction mathématique sert encore de moyen de démonstration des lois découvertes inductivement ; elle fait voir que ces lois ne sont que des conséquences particulières d'une loi plus générale. Ainsi Newton a démontré, en les déduisant de sa loi de la gravitation universelle, les lois que Kepler avait trouvées par l'observation. 4° Par le même moyen, on peut expliquer les lois inductives et en montrer les applications pratiques. Par exemple, on applique par déduction le principe d'Archimède à l'ascension des ballons dans l'air. 5° Enfin, la déduction mathématique peut servir de moyen de découverte, car, des lois formulées par les procédés expérimentaux, on tire d'autres lois que l'expérience n'avait pas encore directement révélées, ou même ne pouvait révéler. Ainsi, c'est en déduisant une application de la loi selon laquelle la force élastique d'un gaz est inversement proportionnelle à son volume que D. Papin employa pour la première fois l'expansion de la vapeur à soulever un piston. On s'efforce également de faire pénétrer la mesure dans les sciences biologiques. On peut, par exemple, établir le bilan de biologiques la consommation d'un organisme et de ce qu'il rend en excrétions ; mais ici la complexité des phénomènes et les différentes réactions intimes qui se produisent rendent difficile une évaluation numérique exacte. Pour qu'on puisse appliquer la méthode mathématique à la biologie, il faudrait que les faits fussent suffisamment analysés, « de manière, dit Cl. Bernard, à être sûr qu'on connaît complètement les conditions des phénomènes entre lesquels on veut établir une équation ». Et il faut avouer que, dans l'état actuel de la science, cette condition est loin d'être réalisée. Enfin, on a tenté d'introduire le point de vue quantitatif dans les sciences morales. Sans affirmer a priori l'impossibilité d'une telle entreprise, on peut remarquer que dans le domaine des faits humains, la condition déjà signalée à propos des sciences biologiques s'impose plus nettement encore et est plus difficile à remplir. La mesure des sensations, des temps de réaction, de l'attention, de la mémoire, de la crédibilité, sont des tentatives intéressantes sans doute, mais qu'on peut considérer comme prématurées, par suite du manque de précision dans l'analyse des faits psychiques. De même, l'emploi des statistiques dans les sciences sociales, et des graphiques qui les accompagnent, demande de grandes précautions. Ici plus que partout ailleurs la complexité est telle qu'il faut se mettre en garde contre une confusion possible entre les véritables lois et les simples coïncidences. Descartes s'est donc trompé lorsque, séduit par la rigueur des procèdes mathématiques et par la certitude absolue qu'ils engendrent, il a cru possible de les appliquer à tout objet. Sans doute l'idéal de la science est de nous permettre de remplacer l'expérience par le raisonnement, les faits parle calcul, l'induction par la déduction. Mais pour parvenir à cet idéal, il faut attendre que l'analyse soit complète dans les différentes sciences, et cette condition, bien que réalisable, n'est pas encore réalisée totalement. »

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