Quel est le rôle des figures en mathématique ?

« Position de la question.

Les Mathématiques reposent sur des notions idéales qui sont, selon E.

BOREL, « de pures créations de l'esprit humain ».

Il peut donc sembler paradoxal qu'elles aient besoin de s'appuyer sur des figures, c'est-à-dire sur des représentations sensibles.

Quel est le rôle de ces figures ? I.

Les figures comme soutien sensible de la pensée. Les Mathématiques n'ont pas toujours été aussi «idéales e qu'elles le sont aujourd'hui : elles plongent leurs racines dans l'expérience.

D'autre part, l'homme n'étant pas un pur esprit, l'abstraction a le plus souvent besoin, dans sa pensée, d'un soutien sensible.

Ce soutien, c'est, en Géométrie, la figure, c'est-à-dire la représentation sensible de la structure spatiale.

Pour les propositions élémentaires, la figure joue même un rôle essentiel et presque exclusif dans la démonstration.

Ailleurs, on découvre souvent celle-ci en cherchant à apercevoir dans la figure une structure qui n'apparaît pas à première vue.

Il importe cependant d'observer qu'ainsi que le remarque GOBLOT (Traité de Logique, p.

265), "le géomètre a toujours présente à l'esprit, quand il raisonne sur une figure, la distinction entre celles des propriétés de cette figure qui sont formellement énoncées dans l'hypothèse et celles qui, n'étant pas spécifiées, demeurent indéfiniment variables".

En somme, il raisonne, moins sur la figure elle-même que sur l'idée de la figure, sur la structure symbolisée et rendue sensible par la figure. II.

Les figures comme concrétisation de l'abstrait. Par l'invention de la Géométrie analytique, DESCARTES a, dans une certaine mesure, libéré la Géométrie de la nécessité de ces représentations sensibles, puisqu'il établissait ainsi un principe d'équivalence entre la Géométrie et l'Algèbre, entre une courbe et son équation.

Mais, comme l'observe G.

BOULIGAND, dans le cas où l'application des méthodes algébriques prendrait une tournure difficile, « le même principe reparaît pour éclairer par des interprétations géométriques les démarches un peu rigides de l'Algèbre pure ».

Déjà, dans l'Antiquité, «la règle et le compas ont affirmé de bonne heure en ce domaine et pour des cas particuliers l'utilité d'images ».

Mais l'invention de Descartes supplante tous ces procédés particuliers, et c'est d'une façon générale que la courbe devient la représentation de l'équation, la figure devient la concrétisation sensible de la fonction.

Et, de même que les problèmes de géométrie peuvent se traduire algébriquement, de même réciproquement une méthode de résolution graphique des équations devient possible. Conclusion.

Le double rôle des figures en Mathématiques perd son caractère paradoxal si l'on renonce à opposer radicalement raison et expérience et si l'on se rend compte que les notions mathématiques, si idéales qu'elles soient devenues, demeurent en harmonie avec la nature de l'univers », donc avec les formes du monde sensible.. »