Platon

« "— Tu n'ignores pas, je pense, que ceux qui s'occupent de géométrie, d'arithmétique et d'autres sciences du même genre supposent le pair et l'impair, les figures, trois espèces d'angles et d'autres choses, analogues suivant l'objet de leurs recherches : qu'ils les traitent comme choses connues, et que, quand ils ont fait des hypothèses, ils estiment qu'ils n'ont plus à en rendre aucun compte ni à eux-mêmes, ni aux autres, attendu qu'elles sont évidentes à tous les esprits; qu'enfin, partant de ces hypothèses et passant à tous les échelons, ils aboutissent par voie de conséquence à la démonstration qu'ils s'étaient mis en tête de chercher. — Oui, dit-il, cela, je le sais. — Par conséquent, tu sais aussi qu'il se servent de figures visibles et qu'ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point à elles qu'ils pensent, mais à d'autres auxquelles celles-ci ressemblent.

Par exemple, c'est du carré en soi, de la diagonale en soi qu'ils raisonnent, et non de la diagonale telle qu'ils la tracent, et il faut en dire autant de toutes les autres figures. Toutes ces figures qu'ils modèlent ou dessinent, qui portent des ombres et produisent des images dans l'eau, ils les emploient comme si c'était aussi des images, pour arriver à voir ces objets supérieurs qu'on n'aperçoit que par la pensée." PLATON VOCABULAIRE: DÉMONSTRATION : C’est un raisonnement conduisant à une conclusion certaine car nécessaire (aucune autre n’étant possible).

La démonstration est une preuve ne reposant que sur la raison.

Le sceptique demande généralement alors ce qui prouve la raison… Ce texte expose la théorie platonicienne des mathématiques.

Il explicite à la fois la nature de la méthode employée par les mathématiciens, et la nature des objets sur lesquels portent les mathématiques.

Souvenez-vous de l'importance des mathématiques aux yeux de Platon, en particulier de la géométrie : en témoigne l'inscription que le disciple de Socrate aurait fait porter à l'entrée de l'Académie (le lieu où enseignaient Platon et ses disciples) : « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre.

» Les mathématiques témoignent en effet de la possibilité d'échapper à l'erreur et à l'incertitude consubstantielles de l'opinion et de la perception sensible. Au linteau de la porte d'entrée de l'Académie était cet avertissement : «Nul n'entre ici s'il n'est géomètre».

C'est dire l'importance qu'attachait Platon aux mathématiques en tant que discipline préparatoire (propédeutique), nous apprenant à nous dégager des choses immédiatement sensibles pour considérer des rapports intelligibles, nous éloigner du «concret» pour appréhender «l'abstrait».

C'est par cette discipline des mathématiques que nous devenons aptes à élaborer une construction, qu'on appelle hypothético-déductive, c'est-à-dire une théorie qui reconstruit déductivement (selon des règles logiques) un donné à partir d'hypothèses. Par exemple : à partir du théorème que la somme des angles d'un triangle vaut deux droits, on déduit que la somme des angles d'un polygone vaut autant de fois deux droits qu'il a de côtés moins deux. Comme plus généralement : à partir d'une hypothèse (axiome, postulat, définition) indémontrée, on déduit logiquement une théorie, un système, une construction. C'est grâce à cette méthode qu'il est possible de mesurer, compter, peser, et de rendre le réel intelligible et donc objectif. Mais les mathématiques ne sont que le "prélude de l'air qu'il faut apprendre". Le premier paragraphe (c'est Socrate qui parle) expose la méthode hypothético-déductive ou encore AXIOMATIQUE : Système dans lequel sont explicitées les propositions non démontrées et les termes non définis à partir desquels on construit par voie de déduction toutes les autres propositions d'une science logique ou mathématique.

Le système des axiomes définissant une théorie mathématique doit être complet (nécessaire et suffisant) et consistant (non contradictoire). axiomatique des mathématiques : celles-ci supposent, sans la démontrer, l'existence d'un certain nombre d'entités, comme les figures, par exemple le carré.

Par ailleurs, elles posent les définitions de ces entités sans les justifier.

Au moyen de ces hypothèses, elles démontrent les théorèmes mathématiques. Dans le second paragraphe, Socrate examine l'utilisation par les mathématiciens de figures visibles, c'està-dire des schémas et des dessins sur lesquels ceux-ci s'appuient.

Ce ne sont que des aides : le véritable objet des mathématiques, ce sont les idées indépendantes qui ne peuvent être perçues par les sens, mais seulement 'par la pensée.

La relation entre les figures sensibles et les idées en soi est analysée en termes de ressemblance : les figures sensibles sont utilisées comme des images des idées en soi, semblables aux reflets que produisent les objets sensibles dans les miroirs et dans l'eau. Dans la discussion, vous pouvez souligner le rôle de la philosophie par rapport aux mathématiques : le philosophe connaît les objets que suppose le mathématicien et justifie les définitions que celui-ci ne fait que poser.. »