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Les mathématiques ont-elles un rapport avec le réel ?

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« Par un paradoxe surprenant, c'est parfois pour s'être éloigné du réel que le mathématicien trouve des structures qui correspondent mieux que toute autre à certains phénomènes. Ainsi la géométrie de Riemann, qui avait paru un simple jeu de l'esprit, s'est révélée très féconde : Einstein, en particulier, en a tiré parti dans sa construction de la théorie de la relativité. On pourrait voir, dans cette harmonie entre le monde des mathématiques et celui de l'univers physique, l'écho d'un dieu mathématicien. Mais une telle conception ne résiste pas devant la diversification des systèmes mathématiques. Il convient, en outre, de préciser que les mathématiques ne s'appliquent pas à toute réalité mais seulement aux structures simples et quantifiables étudiées par le physicien. Les mathématiques expriment d'autant plus mal le réel que celui-ci est complexe, singulier, qualitatif. Peut-on quantifier les sentiments, les passions? Enfin, si les mathématiques s'appliquent aussi bien à la réalité que le physicien étudie, c'est sans doute parce que celle-ci est informée par la pensée théorique. Les instruments d'observation sont des incarnations de théories dans lesquelles les mathématiques sont déjà présentes. Analyse du sujet : Il se présente sous la forme d'une question à laquelle nous sommes invités à répondre par « oui » ou par « non », avec toutes les justifications qui s'imposent. Deux notions interviennent : le réel et les mathématiques, mises en relation. Le réel désigne l'ensemble des choses qui sont réellement, c'est-à-dire, l'ensemble des choses considérées du point de vue de leur être. La chose réelle s'oppose alors à ce qui n'a pas d'être, c'est-à-dire à la pure apparence. Lorsque nous abordons la notion de réel, la question se pose toujours de savoir ce qui fait la réalité d'une chose dite réelle. Il nous faudra le déterminer pour dire si c'est à cela ou à autre chose que les mathématiques ont affaire. Les mathématiques travaillent sur des entités comme le nombre, la figure géométrique, la suite, le vecteur, etc., qui semblent n'avoir aucune réalité : on ne rencontre jamais un « pur » nombre ou un vecteur dans la nature. Le nombre ou la figure pourtant transparaissent des choses sans les épuiser totalement, autrement dit, ils sont comme contenus dans la chose (toute chose à une figure, existe en nombre déterminé) mais ne suffisent pas à définir entièrement la chose (qui a toujours d'autres qualités : la couleur, le poids, etc.). Nous commençons ainsi à entrevoir les problèmes soulevés par la question de notre sujet : si nous affirmons, par exemple, que l'essence d'une chose est réductible à sa figure, c'est-à-dire que la figure est ce qui fait la réalité du réel, alors la géométrie a bien affaire au réel. Problématisation : Pour répondre à la question de notre sujet, nous devons déterminer quels sont les objets auxquels les mathématiques ont affaire et si ces objets sont réels ou non. Nous connaissons déjà des objets de la mathématique, nous en avons suffisamment d'exemples : inutile donc de rédiger une première partie artificielle sur le point, la ligne et le nombre ! Mieux vaut directement s'interroger sur le statut des entités mathématiques. Peut-on trouver ces entités dans le réel ? Pour répondre à cette question, nous devons déjà savoir ce qui définit le réel, ce qui fait la réalité d'une chose. Nous venons de mettre au jour les différents problèmes auxquels il nous faudra nous confronter pour répondre à la question qui nous est posée : reste à les hiérarchiser en une problématique. Nous avons souligné que le problème de la définition de la réalité du réel devait être résolu avant toute chose : nous adopterons par conséquent l'ordre suivant dans notre enquête : 1. Quelle est l'essence de la réalité (dans une chose dite réelle) ? 2. Les entités mathématiques se retrouvent-elles dans ce qui fait la réalité des choses ? Proposition de plan : I – La réalité d'une chose se réduit à son essence Référence : Platon, Phédon « - Venons maintenant, reprit Socrate, aux choses dont nous discutions précédemment. L'essence elle-même, que, dans nos questions et nos réponses, nous définissons par l'être véritable, est-elle toujours la même et de la même façon, ou tantôt d'une façon, tantôt de l'autre ? L'égal en soi, le beau en soi, chaque chose en Soi, autrement dit l'être réel, admet-il jamais un changement, quel qu'il soit, ou chacune de ces réalités, étant uniforme et existant pour elle-même, est-elle toujours la même et de la même façon, et n'admet-elle jamais nulle part en aucune façon aucune altération ? - Elle reste nécessairement, Socrate, répondit Cébès, dans le même état et de la même façon. - Mais que dirons-nous de la multitude des belles choses, comme les hommes, les chevaux, les vêtements ou toute autre chose de même nature, qui sont ou égales ou belles et portent toutes le même nom que les essences ? Restent-elles les mêmes, ou bien, tout au rebours des essences, ne peut-on dire qu'elles ne sont jamais les mêmes, ni par rapport à elles-mêmes, ni par rapport aux autres ? »

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