Faut-il tout démontrer?

« I - LES TERMES DU SUJET Démontrer : c'est l'opération par laquelle on obtient un résultat nécessairement vrai.

La démonstration est par excellence la méthode des mathématiques.

La démonstration est la méthode d'une connaissance incontestable si bien qu'elle a toujours été un idéal de connaissance.

Pour Leibniz, par exemple, toutes les questions devaient pouvoir se résoudre par un seul mot d'ordre : calculemus, calculons ! II - L'ANALYSE DU PROBLEME Chercher à démontrer est l'idéal de toute connaissance toutefois la démonstration n'est possible qu'à partir de données précises qui sont le nombre et la mesure.

Toute la réalité humaine ne peut être exprimée de façon complète et satisfaisante sous cette forme.

Dès lors chercher à tout démontrer est une tâche impossible, même si au XVIIème siècle on a pu penser y parvenir. III - UNE DEMARCHE POSSIBLE L'OPERATION DE LA DEMONSTRATION Il convient de définir l'opération de la démonstration.

Celle-ci consiste à tirer nécessairement, c'est-à-dire selon une règle, une proposition d'une autre proposition connue comme vraie, qu'elle soit ou non démontrée. La mathématique rassemble toutes les sciences où l'on étudie l'ordre et la mesure, indifféremment de leurs objets. La science universelle qui rassemble toutes les autres sciences, qui n'en sont que les parties subordonnées, se nomme mathématique universelle.

Ce doit être la science la plus utile et la plus facile de toutes, n'ayant aucun rapport à un objet particulier. Les difficultés qu'elle renferme se trouvent déjà dans les autres sciences, puisqu'elle leur est commune.

Si cette mathesis universalis a été négligée par tous, c'est en raison de son extrême facilité.

L'ordre de la recherche de la vérité requiert pourtant de commencer par les choses les plus simples et les plus faciles à connaître, et de ne passer à un ordre plus élevé que lorsque toutes les difficultés auront été résolues.

Ainsi, on est sûr de ne jamais se tromper.

Parmi les sciences connues, seules l'arithmétique et la géométrie sont absolument certaines.

Quelle en est la raison ? Nous ne pouvons connaître que de deux manières : soit par l'expérience, soit par la déduction. Si l'expérience est souvent trompeuse, la déduction, qui consiste à inférer une chose à partir d'une autre, peut être manquée si on ne la voit pas, mais ne peut jamais être mal faite.

"Toutes les erreurs où peuvent tomber les hommes ne proviennent jamais d'une mauvaise inférence, mais seulement de ce qu'on admet certaines expériences mal comprises, ou que l'on porte des jugements à la légère et sans fondement." Arithmétique et géométrie sont les seules sciences qui traitent d'un objet simple et pur et qui n'admettent rien d'incertain : leur travail ne consiste qu'à tirer des conséquences par voie de déduction rationnelle.

Leurs erreurs ne peuvent procéder que de l'étourderie.

Elles doivent par conséquent constituer l'idéal des sciences pour leur rigueur, leur clarté et leur certitude. «Ces longues chaînes de raison, si simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s'entresuivent en même façon.» Descartes, Discours de la méthode (1637). • Descartes a eu, dès sa jeunesse, l'idée d'une mathesis universalis, ou science universelle, qui étendrait le caractère démonstratif des mathématiques à l'ensemble des objets de connaissance possible (le monde physique en particulier: • Ce discours démonstratif est défini par la cohérence de ses raisonnements, et par l'évidence des principes sur lesquels il repose (voir fiche Descartes"). Ainsi, si l'on part d'une vérité absolument claire et distincte, et que l'on en déduit de manière rationnelle les conséquences, on arrive forcément à d'autres vérités, et ainsi de suite. • Rien ne devait pour Descartes, échapper à ce modèle, c'est pourquoi, il propose aussi un traité Les Passions de l'âme, dans lequel il traite de l'âme humaine en «physicien» et géomètre (deux termes presque synonymes pour lui). LES CONDITIONS DE LA DEMONSTRATION Pour pouvoir faire une telle opération, il faut pouvoir exprimer toute la réalité sous la forme d'un nombre ou d'une variable numérique comme le fait, par exemple, la physique mathématique depuis Galilée.

Galilée formulait la chute de n'importe quel corps dans l'espace par une équation e = 1/2 gt2 où e désigne l'espace parcouru par un corps, g la constante gravitationnelle c'est-à-dire la force à laquelle ce corps est soumis et t le temps de la chute.

Cette formule est le résultat d'une démonstration et nous donne une connaissance exacte, rigoureuse et constante du réel.. »