TIPE de mathématiques Approximation de réels par des rationnels

« TIPE de mathématiques Approximation de réels par des rationnels Introduction Il est difficile pour l’homme de se représenter des nombres irrationnels.

Tout le monde sait se représenter un nombre rationnel.

Tout le monde, même si ce n’est pas l’expression "nombre rationnel" qui est employée, sait ce qu’est un nombre rationnel.

Si p et q sont positifs avec p p ≤ q, on nous dit qu’une fraction (qui est un nombre rationnel) est la partie du gâteau que q l’on prend (qui correspond à l’entier p) sur le nombre de parts que l’on a coupé de notre gâteau (qui correspond à l’entier q). L’approximation des nombres irrationnels a été un problème majeur de l’avancée des mathéma√ tiques.

2 est la longueur de la diagonale d’un carré de longueur 1 et a été pendant longtemps un nombre inclassable. Nous allons utiliser le fait que Q est dense dans R.

Il est donc possible d’approximer des réels par des suites de rationnels.

C’est tout simplement dû au fait que Q est dense dans R pn =x donc ∀ x ∈ R il existe une suite d’entiers (pn , qn )n∈N telle que lim n−>∞ qn Problématique : Nous allons étudier plusieurs méthodes d’approximation de réels par des rationnels par diverses suites ainsi que leur vitesse de convergence.

Nous nous intéresserons ensuite au cas particulier des racines. 1 1.1 Les méthodes de base Développement en base 10 Définition 1 (Développement décimal) Le développement décimal d’un réel x est défini de manière unique par x = converge pas vers 9. ∞ P ak 10−k avec a0 = bxc, et si k ≥ 1, ak ∈ {0, 1, .., 9}, (ak )k∈N ne k=0 Théorème 1 Le développement décimal est unique. 1 b10n xc est une suite de rationnels qui a pour limite x.

Avec cette 10n méthode, on peut récupérer le développement en base 10 de la partie fractionnaire d’un nombre. Soit x ∈ R alors un = Théorème 2 Le nième chiffre après la virgule an de x est obtenu par : an = 10n (un − un−1 ) Cette méthode est uniquement théorique puisque pour obtenir le nième chiffre après la virgule de x, il faut a priori connaitre le développement de x. 1 √ Exemple 1 Si on pose x = 2, on sait que x est l’unique réel positif tel que x2 = 2, en utilisant cette propriété, et la croissance de x 7→ x2 sur R+ , on peut récupérer son développement en base 10.

On obtient d’abord que.... »