Théorie des jeux

« Introduction Qui n’a jamais joué au pierre feuille ciseau ? Je vous le demande.

Ce jeu, simple en apparence, est en réalité un exemple parfait pour introduire un concept bien plus vaste et complexe : la théorie des jeux.

Cette théorie, pouvant être analysé par les mathématiques, se penche sur la façon dont les décisions d'un individu, influencent et sont influencées, par les décisions des autres joueurs.

Chaque joueur doit choisir sa stratégie, en tenant compte des stratégies potentielles des autres, dans le but d'optimiser son propre résultat.

Ce cadre d'analyse permet de modéliser une grande variété de situations, allant des jeux de société simples comme le pierre feuille ciseau, aux dilemmes plus complexes rencontrés dans les domaines de l'économie, de la politique, ou encore de la gestion3. La théorie des jeux est donc un outil puissant pour comprendre et prédire le comportement des individus et des organisations dans des situations d'interaction stratégique.

Mais, comment la théorie des jeux peut-être décryptée par les mathématiques ? Ainsi nous verrons dans un premier temps, les jeux simultanés et séquentiels, puis les jeux à information complète et incomplète.

Enfin, nous aborderons les applications et des extensions de la théorie des jeux. → risk (jeu avec 2 dés) → poker I.

Les jeux simultanés VS les jeux séquentiels La théorie des jeux se divise en deux types de jeux : simultanés et séquentiels. Dans les jeux simultanés, tous les joueurs prennent leurs décisions en même temps, sans connaître celles prises par les autres, et jouent en même temps.

Dans le poker, par exemple, les joueurs prennent leurs décisions, à savoir, miser, checker et se coucher, en même temps.

L'objectif des joueurs est de maximiser leur espérance de gain à long terme.

Grâce aux mathématiques, on en déduit alors qu’aucun joueur n'a intérêt à dévier de sa stratégie, car cela réduirait son espérance de gain. Dans les jeux séquentiels, les joueurs font leurs choix à différents moments, et la décision d'un joueur dépend des choix précédents des autres joueurs.

Ces jeux sont souvent représentés sous forme d'arbres de décision.

Le jeu de Nim se rattache aux jeux séquentiels.

C’est un jeu de stratégie à deux joueurs dans lequel les joueurs doivent enlever entre une et 3 allumettes d’une rangée, à tour de rôle.

L’objectif est de ne pas enlever la dernière allumette.

Le jeu de Nim est donc séquentiel car les joueurs jouent à tour de rôle, et doivent s’adapter au comportement de l’autre joueur.

Les jeux séquentiels peuvent être plus complexes et nécessiter des stratégies plus sophistiquées que les jeux simultanés. Les jeux séquentiels peuvent également être représentés sous forme de jeux de coordination, où les joueurs doivent trouver un accord pour maximiser leurs gains.

Ainsi, cela peut parfois conduire à des conflits ou des compromis. En résumé, la théorie des jeux peut donc se diviser en deux types de jeux : simultanés et séquentiels. Les jeux séquentiels sont souvent plus complexes et nécessiter des stratégies plus sophistiquées que les jeux simultanés. II.

Les jeux à information complète VS à information incomplète La théorie des jeux, se divise également en 2 autres catégories, et il est possible d’appartenir à une des deux précédentes ainsi qu’à une des deux suivantes.

On distingue ainsi les jeux à information complète et les jeux à information incomplète. Dans les jeux à information complète, chaque joueur a une connaissance parfaite des préférences, des informations et des stratégies possibles, de tous les autres joueurs.

Cette transparence rend ces jeux plus aisés à analyser et à résoudre, car les joueurs peuvent essayer d’anticiper les actions des autres.

Un exemple classique de jeu à information complète est le jeu d'échecs.

Chaque joueur voit l'ensemble du plateau et connaît les règles et les stratégies possibles, ce qui lui permet de planifier ses mouvements, en fonction des actions potentielles de l'adversaire. Dans les jeux à information incomplète, les joueurs ne connaissent pas les préférences et les informations de tous les autres joueurs.

Ces jeux sont plus complexes et nécessitent des stratégies plus sophistiquées.

Le dilemme du prisonnier est un exemple emblématique de jeu à information incomplète. Dans ce scénario, deux suspects sont arrêtés et interrogés séparément.

Ils ne peuvent pas communiquer et doivent décider individuellement s'ils avouent ou nient le crime.

Les peines varient selon les décisions combinées des deux suspects.

Le dilemme réside dans le fait de trouver la meilleure décision pour les deux individus.

Cela illustre la tension entre les intérêts individuels et collectifs dans les situations à information incomplète. III.

Démonstration et application et extension de la théorie des jeux Démontrons à présent l’intérêt des mathématiques dans le cas du dilemme du prisonnier. Nommons les deux prisonniers, A et B, arrêtés pour un crime mineur.

Le procureur leur propose un marché : s’ils ne se trahissent.... »