suite et recurrence

« Chapitre 3 : Généralités sur les suites et principe de récurrence ECG 1 I) Modes de génération II) Sens de variation III) Suite arithmétique IV) Suite géométrique V) Raisonnement par récurrence Propriété 1 (Principe de récurrence) Si une propriété P (n) est vraie pour un entier n , (initialisation) pour tout entier n supérieur ou égal à n , le fait que P (n) soit vraie implique que P (n + 1) soit vraie aussi (hérédité), alors • la propriété P (n) est vraie pour tout entier n ≥ n . Autrement dit : (P (0) et ∀n ∈ N, (P (n) =⇒ P (n + 1))) =⇒ (∀n ∈ N, P (n)). • • 0 0 0 Méthodes 1 1.

Démontrer une formule explicite Soit (u ) la suite dénie par : n  u0 ∀n ∈ N, un+1 = = 1 un + 2n + 3 Démontrons par récurrence que pour tout n ∈ N, la propriété P (n) : ”u = (n + 1) ” est vraie.  Initialisation : Pour n = 0. D'une part u = 1 ; d'autre part (0 + 1) = 1. Donc P est vraie.  Hérédité : Soit n ∈ N. Supposons P (n) : u = (n + 1) . Montrons P (n + 1) : u = (n + 1 + 1) = (n + 2) . On a : u = u + 2n + 3 = (n + 1) + 2n + 3 (H.R.) 2 n 2 0 0 2 n 2 n+1 n+1 2 n 2 = n2 + 2n + 12 + 2n + 3 = n2 + 4n + 4 = (n + 2)2 Ainsi, P (n + 1) est vraie  Conclusion : La propriété est initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0.

Donc, d'après le principe de récurrence, P (n) est vraie pour tout n ∈ N. Ainsi : ∀n ∈ N, un = (n + 1)2 . 2.

Démontrer une inégalité Soit α > 0. Démontrons par récurrence que pour tout n ∈ N, la propriété P (n) : ”(1 + α) ≥ 1 + nα” est vraie.  Initialisation : Pour n = 0. D'autre part 1 + 0α = 1. D'une part (1 + α) = 1, Or 1 ≥ 1 donc P est vraie. n 0 0  Hérédité : Soit n ∈ N. Supposons P (n) : (1 + α) ≥ 1 + nα. Montrons P (n + 1) : (1 + α) ≥ 1 + (n + 1)α. On a : (1 + α) ≥ 1 + nα n n+1 (H.R) n n+1 ≥ (1 + nα)(1 + α) n+1 ≥ 1 + α + nα +.... »