Suite Aritmétiques et Géométriques
Publié le 04/03/2024
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Chapitre 8 : Suites Arithmétiques & Géométriques
I.
Suite arithmétique
1.
Définition
Définition :
Une suite (𝑢# ) est dite arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ,
on ait 𝒖𝒏+𝟏 = 𝒖𝒏 + 𝒓.
Le réel r est appelé raison de la suite arithmétique (𝑢# ).
Exemple :
La suite 𝑢# définie par 𝑢1 = 0 et pour tout entier 𝑛 par la relation 𝑢#+3 = 𝑢# + 1 est une suite arithmétique de
raison 𝑟 = 1.
(𝑢# ) est la suite des entiers naturels.(0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;…..)
2.
Expression du terme général
Propriété :
Soit (𝑢# ) une suite arithmétique de premier terme 𝑢1 et de raison 𝑟, alors, pour tout entier 𝑛, 𝒖𝒏 = 𝒖𝟎 + 𝒏𝒓.
Soit (𝑢# ) une suite arithmétique de premier terme 𝑢3 et de raison 𝑟, alors, pour tout entier 𝑛, 𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓.
Exemples :
Soit la suite arithmétique (𝑢# ) de premier terme 𝑢1 = −5 et de raison 𝑟 = 2.
Calculer 𝑢:11; .
Soit la suite arithmétique (𝑣# ) de premier terme 𝑣; = 1200 et de raison 𝑟 = −10.
Calculer 𝑣;= .
3.
Reconnaître si une suite est arithmétique
Propriété :
La suite (𝑢# ) est arithmétique si et seulement si la variation absolue 𝑢#+3 − 𝑢# est constante.
Démonstration :
Soit la suite arithmétique (𝑢# )#∈ℕ de premier terme 𝑢1 et de raison 𝑟
D’après la définition d’une suite arithmétique, on a 𝑢#+3 = 𝑢# + 𝑟
Soit 𝑢#+3 − 𝑢# = 𝑟, comme 𝑟 est un réel on a 𝑢#+3 − 𝑢# = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
Exemple :
Soit la (𝑢# ) définie sur ℕ par 𝑢# = 1 + 4𝑛 :
Démontrer que la suite (𝑢# ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme 𝑢1 .
On montre que 𝑢#+3 − 𝑢# est constant (ne dépend pas de n)
On a alors : pour tout entier naturel 𝑛 , 𝑢#+3 − 𝑢# = 1 + 4 𝑛 + 1 − 1 + 4𝑛 = 1 + 4𝑛 + 4 − 1 − 4𝑛 = 4
Donc pour tout entier naturel 𝑛 , 𝑢#+3 − 𝑢# est constant, égal à 4 , on en déduit que (𝑢# ) est bien une suite
arithmétique , que sa raison est 𝑟 = 4 et que 𝑢1 = 1
Remarque :
Pour montrer qu’une suite (𝑢# ) n’est pas arithmétique, on pourra montrer par exemple que U1 - U 0 ¹ U 2 - U1
Exemple :
Soit la (𝑢# ) définie sur ℕ par 𝑢# = 𝑛: − 3𝑛² + 4𝑛 + 1:
A l’aide de la calculatrice, donner les premiers termes de la suite (𝑢# ).
Est elle arithmétique ?
1
4.
Sens de variation
Propriété :
Si (𝑢# ) est une suite arithmétique de raison 𝑟 > 0 ,alors la suite est croissante.
Si (𝑢# ) est une suite arithmétique de raison 𝑟 < 0 ,alors la suite est décroissante.
Si (𝑢# ) est une suite arithmétique de raison 𝑟 = 0 ,alors....
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