Séries Séries d’exercices corrigés détaillés les 2ème Année Bac - SM
Publié le 22/01/2025
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Séries d’exercices corrigés détaillés
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2ème Année Bac - SM
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Dernière
Mise à jour
28/07/2024
𝑵𝒐𝒖𝒗𝒆𝒍𝒍𝒆
Revue et corrigée
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Discuter les difficultés
Exercices
Dérivation
3 Fonctions
M
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é𝒅𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏
Professeur Badr Eddine El FATIHI
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MATHS
OUARZAZATE 2025
101 Exercices
Badr Eddine El FATIHI
Bac SM
2025
Badr Eddine EL FATIHI
00212660344136
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Ouarzazate 2025
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2ème Année Bac - SM
ROYAUME DU MAROC
Professeur Badr Eddine El FATIHI
SÉRIES D’EXERCICES
« 2ème Année Bac – SM »
You’re not supposed to create new methods or new techniques.
Just
understand those that already exist .
it’s not about intelligence it’s about
hard work.
It’s about the amount of work per day dudes.
Professeur Badr Eddine El FATIHI 0660344136 OUARZAZATE MAROC
Projet de livre 2024 - 2025
Tome 3 : Dérivation et étude de fonctions
Dérivabilité en un point, sur un intervalle
Approximation affine d’une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Variations d’une fonction numérique
Branches infinies d’une courbe d’une fonction
Concavité d’une fonction numérique
Travailler avec la règle de l’Hôpital
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Ouarzazate 2025
Dimanche 28 Juillet 2024
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1 : Avant - propos
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Ce livre est un support d’exercices corrigés conçu en
faveur des élèves de la 2ème année Bac SM du Maroc.
J’ai y classé 101 exercices pour la leçon intitulée Dérivation
et étude de fonctions.
Les exercices proposés sont riches,
variés et contiennent tout type de questions.
C’est une
plate-forme de travail pour les élèves qui auraient besoin
d’un supplément de soutien très particulier.
dans ce
cadre, l’élève est invité à choisir le type d’exercices là
où il se sent faible et de prendre son temps pour
renforcer ses apprentissages.
Mon objectif est d’aider ces
élèves à parvenir à un niveau qui leurs permettrait de
passer les devoirs, les examens et tout type de concours
d’admission pour les écoles supérieurs avec succès.
Cette série contient entre autre un rappel de cours, les
énoncés des exercices et les réponses détaillées qu’on
devrait lire attentivement et en profiter au maximum les
idées de résolution.
J’ai classé dedans encore des moyens
et des méthodes hors programme juste pour élargir son
équilibre de connaissances.
Sachez que, dans les
concours d’admission et même dans les examens, la
réponse finale compte plus que la méthode suivie.
La
vitesse de réalisation est aussi importante car vous serez
certainement serrés par le temps.
D’ailleurs les concours
sont formulés sous la forme de questions à choix multiple.
Bon courage à tout le monde et à bientôt
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2 : Méthodologie du travail
Considérer d’abord une séance d’exercice comme
un
jeu,
car
Apprendre
par
le
jeu
est
le
trouver
la
meilleur moyen existant de nos jours
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Choisir le type d’exercices voulu
Lisez
la
question
et
essayer
de
réponse en 10 min en consultant de temps à
autre le rappel de cours
Consulter ma réponse sur ce livre
Notez les lacunes et difficultés rencontrées
Retourner pour refaire l’exercice à nouveau
Passer à un autre exercice
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3 : Rappel de Cours
Outil N° 1 :
∎
Dérivabilité en un point :
∎
= 𝑓 ′ 𝑥0 𝜖 ℝ
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
⟺
∎
𝑥→𝑥 0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
lim
𝑥→𝑥 0
𝑥>𝑥 0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
= 𝑓𝑑′ 𝑥0 𝜖 ℝ
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 à 𝑔𝑎𝑢𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
⟺
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
lim
𝑥→𝑥 0
𝑥 − 𝑥0
=
𝑓𝑔′
𝑥0 𝜖 ℝ
𝑥𝑥 0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
∎
1+𝑥 ≈ 1+
∎
1
≈ 1−𝑥
1+𝑥
=𝑙𝜖ℝ
𝒞𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∆ 𝑒𝑛 𝑥0
⟺
𝐴𝑣𝑒𝑐 ∆ ∶ 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0
∎
= ±∞
Outil N° 4 :
Outil N° 2 :
∎
=𝑙𝜖ℝ
𝒞𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑖 − 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∆
⟺
à 𝑔𝑎𝑢𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
𝐴𝑣𝑒𝑐 ∆ ∶ 𝑦 = 𝑓𝑔′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
⟺
lim
𝑥→𝑥
=𝑙𝜖ℝ
𝒞𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑖 − 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∆
⟺
à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
𝐴𝑣𝑒𝑐 ∆ ∶ 𝑦 = 𝑓𝑑′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓 𝑥0
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𝑥
2
∎
1+𝑥
2
≈ 1 + 2𝑥
∎
1+𝑥
3
≈ 1 + 3𝑥
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Just
understand those that already exist .
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hard work.
It’s about the amount of work per day dudes.
5
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∎
1+𝑥
𝛼
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≈ 1 + 𝛼𝑥 ;
𝛼𝜖ℝ
𝑥2
∎ cos 𝑥 ≈ 1 −
2
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∎ ∀ 𝑥 𝜖 −1,1
;
∎ ∀𝑥𝜖ℝ
𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥
;
′
𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥
′
=
=
−1
1 − 𝑥2
1
1 + 𝑥2
∎ sin 𝑥 ≈ 𝑥
Outil N° 7 :
∎
1
≈ 1+𝑥
1−𝑥
Opérations sur les fonctions dérivables :
𝑥3
∎ tan 𝑥 ≈ 𝑥 +
3
∎
Dérivabilité sur un intervalle :
Outil N° 6 :
Tableau des dérivées classiques :
∎ ∀𝑥𝜖ℝ ;
′
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑥 + 𝑏
′
=0
=𝑎
∎ ∀ 𝑥 𝜖 ℝ ; ∀𝑛𝜖ℕ ;
𝑥𝑛
∎ ∀ 𝑥 𝜖 ℝ∗ ; ∀𝑛𝜖ℤ ;
𝑥𝑛
∎ ∀ 𝑥 𝜖 ℝ ; ∀ 𝑟 𝜖 ℚ∗+ ;
′
′
′
= cos 𝑥
∎ ∀𝑥𝜖ℝ ;
cos 𝑥
′
= − sin 𝑥
∎ ∀ 𝑥 𝜖 −1,1
;
𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥
′
= 𝑟 𝑥 𝑟−1
𝑔 𝑥
′
2
= 𝑔′ 𝑥 ∙ 𝑓 ′ 𝑔 𝑥
Outil N° 8 :
La dérivabilité implique la continuité :
∎ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
⟹ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑥0
𝑓 ∶ 𝐼 ⟼ 𝑓 𝐼 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼
𝑔 ∶ 𝐽 ⟼ 𝑔 𝐽 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑓 𝐼
𝑓 𝐼 ⊆𝐽
∎
𝑔 ∘ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼
𝑔 ∘ 𝑓 ′ = 𝑔′ ∘ 𝑓 ∙ 𝑓 ′
⟹
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
′
=
1
𝑰
1 − 𝑥2
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𝑓 𝑔 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥
Dérivation d’une composition :
sin 𝑥
tan 𝑥
∎
=
= 𝑛 𝑥 𝑛−1
𝑥𝑟
;
∎
= 𝑓 ′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥
Outil N° 9 :
′
𝜋
𝜋
2
′
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
= 𝑓 ′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥
= 𝑛 𝑥 𝑛−1
∎ ∀𝑥𝜖ℝ ;
∎ ∀𝑥 ≢
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𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑒𝑛 𝑥0 ; ∀ 𝑥0 𝜖 𝐼
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ⟺
∎ ∀𝑥𝜖ℝ ;
′
∎ 𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥
Outil N° 5 :
′
𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
𝒇
𝒇 𝑰 ⊆ 𝑱
𝒈
𝒈 𝑱
𝒈∘𝒇
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Outil N° 10 :
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Dérivation de la fonction inverse :
∎
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Outil N° 12 :
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼
𝑓 ′ ≠ 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
Monotonie d’une fonction :
1ère Méthode :
𝑓 −1 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑓 𝐼
1
𝑓 −1 ′ = ′ −1
𝑓 𝑓
⟹
∎
Outil N° 11 : TAF
𝑓 ∶ 𝐼 ⟼𝑓 𝐼
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼
⟺
∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐼2 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶
𝑥>𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 >𝑓 𝑦
Théorème des accroissements finis :
∎
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑎, 𝑏
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑎, 𝑏
∃ 𝑐 𝜖 𝑎, 𝑏 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶
⟹
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
= 𝑓′ 𝑐
Inégalité des accroissements finis :
∎
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Égalité des accroissements finis :
𝑚≤
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑏−𝑎
𝑓 ∶ 𝐼 ⟼𝑓 𝐼
𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒....
»
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