maths mpsi centrale

« (PSI∗ ) Centrale 2016 - PSI 1 un corrigé I Généralités A.

Propriétés élémentaires 2 I.A.1 Xn est en bijection avec {0, 1}(n ) .

C’est donc un ensemble fini et 2) card(Xn ) = 2(n I.A.2 On procède par récurrence pour montrer que pour tout entier n ≥ 2 on a ∀M ∈ Yn , | det(M )| < n! - Initialisation : soit M ∈ Y2 .

On a det(M ) = m1,1 m2,2 −m1,2 m2,1 ∈ [−1, 1] (car m1,1 m2,2 , m1,2 m2,1 ∈ [0, 1]).

On a donc | det(M )| ≤ 1 < 2.

Le résultat est donc vrai au rang 1. - Hérédité : supposons le résultat vrai à un rang n ≥ 1.

Soit M ∈ Yn+1 .

Un développement par rapport à la dernière colonne donne det(M ) = n+1 X n+1 X i=1 i=1 (−1)n+1+i mi,n+1 det(Mn+1,i ) ≤ mi,n+1 | det(Mn+1,i )| où Mn+1,i est obtenue à partir de M en supprimant ligne i et colonne n + 1 et est donc dans Yn .

Par hypothèse de récurrence, on a donc | det(M )| ≤ n! n+1 X mi,n+1 ≤ (n + 1)! i=1 La dernière inégalité n’est une égalité que si la dernière colonne vaut (1, .

.

.

, 1) mais dans ce cas | det(M )| = 0 < (n + 1)!.

On a donc le résultat au rang n + 1. On en déduit le résultat demandé qui est moins fort que celui prouvé. I.A.3 On munit Mn (R) de la norme kM k = sup{|mi,j |/ 1 ≤ i, j ≤ n} (cela ne change rien puisque l’on travaille en dimension finie où le choix de la norme est indifférent).

On a alors ∀M ∈ Yn , kM k ≤ 1 et Yn est bornée. Soit (Mp ) une suite convergente d’éléments de Yn .

En notant M la limite, Mi,j est la limite le la suite de terme général (Mp )i,j ∈ [0, 1] et on a donc Mi,j ∈ [0, 1].

Ceci montre que M ∈ Yn et que cet ensemble est fermé.

Finalement, Yn est un compact de Mn (R) Soient A, B ∈ Yn et λ ∈ [0, 1].

Posons M = λA + (1 − λ)B.

On a ∀i, j ∈ [|1, n|], Mi,j = λAi,j + (1 − λ)Bi,j ∈ [0, 1] car [0, 1] est convexe.

Ainsi M ∈ Yn et Yn est un convexe de Mn (R) 1/10 I.A.4 Soient M ∈ Yn et λ une valeur propre associée.

On a M X = λX.

Il existe un entier i tel que |xi | = max{|xk |/ 0 ≤ k ≤ n}.

On a λxi = (M X)i = n X mi,k xk k=1 et donc |λ|.|xi | ≤ n X mi,k |xk | ≤ |xi | k=1 n X mi,k ≤ n|xi | k=1 Comme |xi | > 0 car X 6= 0, on en déduit que |λ| ≤ n.

Ainsi ∀M ∈ Yn , ∀λ ∈ Sp(M ), |λ| ≤ n La matrice Jn dont tous les coefficients valent 1 est dans Yn et n est valeur propre de Jn (vecteur propre associé (1, .

.

.

, 1)). B.

Étude de Xn0 = Xn ∩ GLn (R) I.B.1 Soit M ∈ X2 .

Si M a 0 ou 1 coefficient non nul, elle est non inversible (de rang 0 ou 1).

Si elle en a quatre, elle n’est pas inversible non plus (deux colonnes égales).

Il reste à traiter le cas où il y a 2 ou 3 coefficients non nuls.

On trouve que             1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 , , X2 = , , , 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 Les polynômes caractéristiques de ces matrices sont (dans l’ordre) (X − 1)2 , X 2 − 1, (X − 1)2 , X 2 − X − 1, X 2 − X − 1, (X − 1)2 Quand ce polynôme a deux racines distinctes, la matrice est diagonalisable (et possède deux sousespaces propres de dimension 1).

Quand il a une racine double, la matrice n’est diagonalisable que si elle est scalaire.

Quand il n’y a pas de racine réelle, on a une matrice non diagonalisable. Les éléments diagonalisables de X20 sont donc         1 1 0 1 0 1 1 0 , , , 1 0 1 1 1 0 0 1 I.B.2 On a  E1,2 =  E2,2 = 1 1 0 1  0 1 1 1   −  − 1 0 0 1  0 1 1 0   , E2,1 =  , E1,1 = 1 0 1 1  1 1 1 0   1 0 0 1   0 1 1 0  − − Les éléments de la base canonique s’expriment donc comme combinaisons d’éléments de X20 et X20 engendre M2 (R). De même, on veut montrer que pour n ≥ 3, toute matrice Ei,j de la base canonique de Mn (R) peut s’écrire comme combinaison linéaires d’éléments de Xn0 .

Soient donc i, j ∈ [|1, n|]. - Si i 6= j, Ei,j = (In + Ei,j ) − In est une décomposition convenable. - Si i 6= j alors la matrice M obtenue à partir de In en permutant les lignes i et j est dans Xn0 et In − M = Ei,i + Ej,j − Ei,j − Ej,i .

Ei,i + Ej,j = In − M + Ei,j + Ej,i est donc combinaison d’éléments de Xn0 avec le premier cas.

On a alors Ei,i − Ej,j = (Ei,i + Ek,k ) − (Ej,j + Ek,k ) qui est aussi combinaison d’éléments de Xn0 (on peut choisir k ∈ / {i, j} puisque n ≥ 3). - Ainsi, pour i ∈ [|1, n|], Ei,i = 21 ((Ei,i + Ej,j ) + (Ei,i − Ej,j )) est combinaison d’éléments de Xn0 (on peut choisir j 6= i). 2/10 II Deux problèmes d’optimisation A.

Étude de la distance à Yn II.A.1 On remarque que (M |N ) = n n X n X X (M T N )i,i = Mj,i Nj,i i=1 i=1 j=1 2 Cette application correspond ainsi au produit scalaire canonique en identifiant Mn (R) et R(n ) . On trouve d’ailleurs, avec cette formule, facilement les propriétés du produit scalaire (symétrique, linéaire par rapport à la seconde variable, défini positif). II.A.2 L’application M 7→ kA − M k est continue.

Elle est donc bornée et atteint ses bornes sur le compact Yn .

En notant M ∈ Yn un élément où elle atteint son minimum, on a alors ∀N ∈ Yn , kA − M k ≤ kA − N k II.A.3 La matrice M doit être dans Yn , c’est-à-dire avoir des coefficients dans [0, 1] et minimiser la quantité X (ai,j − mi,j )2 1≤i,j≤n Elle minimise donc chacune des quantités (indépendantes les unes des autres) (ai,j − mi,j )2 et minimise donc |ai,j − mi,j |.

On a donc   ai,j si ai,j ∈ [0, 1] 1 si ai,j > 1 mi,j =  0 si ai,j < 0 Il y a unicité de M car pour tout y, x 7→ |y − x| atteint son minimum sur [0, 1] en un unique point. B.

Maximisation du déterminant sur Xn et Yn II.B.1 Le déterminant est une application multilinéaire en dimension finie et donc continue.

Elle est donc bornée et atteint ses bornes sur tout compact.

C’est en particulier le cas sur Yn et sur Xn (toute partie finie est évidemment compacte puisque fermée et bornée).

On pose xn = max det(M ) et yn = max det(M ) M ∈Yn M ∈Xn  M 0 (définition par blocs).

On a évidemment 0 1 et det(M 0 ) = det(M ) (déterminant bloc diagonal).

Ainsi II.B.2 Soit k ≥ 2.

Soit M ∈ Yk ; notons M 0 = M 0 ∈ Yk+1  det(M ) = det(M 0 ) ≤ yk+1 En passant au maximum, on en déduit que yk ≤ yk+1 II.B.3 La matrice M a tous ses coefficients égaux sauf ceux sur la diagonale qui valent 1.

On effectue l’opération élémentaire C1 ← C1 + · · · + Cn ce qui permet de factoriser le déterminant par n − 1. On soustrait alors la première colonne à toutes les autres.

Ces opérations laissent le déterminant invariant et donnent un déterminant triangulaire de coefficients diagonaux 1, −1, .

.

.

, −1.

On a ainsi det(M ) = (n − 1)(−1)n−1 3/10 En particulier, y2n+1 ≥ 2n et y2n+1 → +∞.

Par croissance de la suite (yk ), on en déduit que lim yn = +∞ n→+∞ II.B.4 Un développement par rapport à la colonne j donne det(N ) = n X (−1)k+j nk,j det(Nk,j.... »