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« ORAL MATHS Aujourd’hui, l’agriculture est confrontée à des défis de plus en plus complexes.

Parmi eux, la gestion des insectes ravageurs constitue un enjeu majeur, à la fois économique et environnemental.

En effet, certaines espèces, comme les pucerons, peuvent provoquer des dégâts considérables en très peu de temps. Présentation : Les pucerons sont de petits insectes qui se nourrissent de la sève des plantes.

Leur particularité est leur capacité de reproduction extrêmement rapide : certaines espèces peuvent se reproduire sans fécondation, ce qui permet une multiplication très rapide de leur population. Dans une culture comme le maïs popcorn, cette prolifération peut entraîner une diminution importante du rendement, voire la destruction d’une parcelle entière si aucune action n’est prise à temps. Face à ce problème, les agriculteurs doivent anticiper.

Mais comment prévoir l’évolution d’une population d’insectes ? C’est ici que les mathématiques interviennent.

(En mathématiques, on cherche à traduire une situation réelle en une fonction ou une suite afin de pouvoir la prévoir.

On parle de modélisation.) PB : Nous allons donc nous demander : Comment les mathématiques permettent-elles de modéliser la croissance des pucerons afin de prévoir le moment où une culture devient en danger ? PLAN : Pour répondre à cette problématique, nous allons procéder en plusieurs étapes : d’abord, étudier un modèle simple de croissance puis un modèle plus réaliste basé sur une croissance proportionnelle ensuite intégrer les limites du milieu enfin, appliquer ces modèles à une situation concrète I.

UNE PREMIÈRE APPROCHE : LE MODÈLE LINÉAIRE Dans un premier temps, on peut essayer de modéliser la croissance des pucerons de manière simple.

On suppose que la population augmente de façon constante chaque jour.

Cela signifie que l’on ajoute toujours le même nombre d’individus. De la forme : P(n+1) = P(n) + c avec c est une constante Il s’agit d’une suite arithmétique de raison c.

On a donc P(n) = P(0) + n×c Par exemple, si l’on considère une population initiale P(0) de 100 pucerons et une augmentation de 50 pucerons par jour qui se symbolyse c = 50, on obtient : P(0) = 100 P(1) = 150 P(2) = 200 Ce modèle est facile à comprendre et à utiliser.

Cependant, il présente rapidement une limite importante. En réalité, les pucerons ne se reproduisent pas en ajoutant un nombre fixe d’individus.

Au contraire, plus il y a de pucerons, plus ils se reproduisent rapidement. Ce modèle ne reflète donc pas la réalité biologique ! On prend donc un modèle plus adapté à la réalité. II.

UNE CROISSANCE PLUS RÉALISTE : LE MODÈLE EXPONENTIEL Pour améliorer notre modèle, on prend en compte le fait que la reproduction dépend du nombre d’individus présents.

Autrement dit : plus la population est grande, plus elle augmente rapidement. Cela se traduit par une équation différentielle : P’(t) = r × P(t) Leonhard Euler (1707–1783) Mathématicien suisse extrêmement prolifique, il a posé les bases de l’analyse moderne.

Il a étudié les fonctions exponentielles et les équations différentielles.

Ses travaux permettent aujourd’hui de résoudre P’(t)=rP(t).

Il a travaillé malgré une perte progressive de la vue. (Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre à variables séparées.

On obtient une solution en intégrant : dP/P = r dt.) où : P(t) est la population r est le taux de croissance La solution de cette équation est : P(t) = P₀ e^(rt) (La fonction exponentielle est l’unique fonction égale à sa dérivée à un coefficient multiplicatif près.

C’est pourquoi elle modélise les croissances proportionnelles.) Interprétation Cela signifie que : la population double de plus en plus vite la croissance devient explosive ≈ 5 minutes) APPLICATION CONCRÈTE : UNE FERME AGRICOLE ( Prenons un exemple réaliste.

Un agriculteur possède une parcelle de 1 hectare de maïs popcorn.

On suppose que : au départ, il y a 100 pucerons, le taux de croissance est de 0,4 par jour la culture devient en danger à partir de 2000 pucerons Nous allons étudier l’évolution. Calcul du seuil critique On cherche le moment où la population atteint 2000 : 100 e^(0,4t) = 2000 On simplifie : e^(0,4t) = 20 On prend le logarithme : 0,4t = ln(20) t ≈ 7,5 Conclusion : en seulement 7 à 8 jours, la culture.... »