Exercice pour se préparer au grand oral

« DM grand oral Term spécialité maths 2024-2025 DM 6 Deux options possibles : 1.

Si vous avez déjà l’idée de votre sujet de grand oral, en donner le plan détaillé et préciser pourquoi vous avez choisi ce sujet.

Faire en plus un des exercices de la liste suivante. 2.

Sinon, faire deux exercices de la liste suivante qui pourraient vous inspirer comme question pour l’épreuve du grand oral.

Et expliquer en quelques phrases pourquoi vous les avez choisis. Exercice 1 Surréservation Les hôtels proposent à la réservation plus de chambres qu’ils ne possèdent en réalité car certains clients ne se présentent pas à l’hôtel le jour pour lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique la surréservation. Supposons que chaque client a 5 % de chance de ne pas se présenter à l’hôtel. Considérons un hôtel de 200 places pour lequel 204 réservations ont été payées pour un jour donné par des clients pour un montant de 100 euros chacune.

On suppose que la présence à l’hôtel de chaque client est indépendante des autres clients et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients se présentant à l’hôtel. 1.

Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2.

En moyenne, combien de clients vont-ils se présenter à l’hôtel ? 3.

Calculer P (X 6 200), le résultat sera arrondi à 10−3 près.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 4.

Si plus de 200 clients se présentent à l’hôtel, celui-ci doit rembourser la chambre et verser une compensation évaluée à 250 euros à chaque client lésé. On appelle : Y la variable aléatoire égale au nombre de clients qui se présentent à l’hôtel un jour donné mais n’ont pas de chambre bien qu’ayant réservé; C la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de l’hôtel le jour considéré. (a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y sous forme d’un tableau, on arrondira les probabilités à 10−5 (b) Justifier que: C = 20 400 − 250Y . (c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire C sous forme d’un tableau. Calculer l’espérance de la variable aléatoire C à l’euro près. (d) Comparer le chiffre d’affaires obtenu en prenant exactement 200 réservations et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant la surréservation. Exercice 2 Modèle de Hardy-Weinberg Dans une population, on considère un caractère déterminé par un gène présent sur deux chromosomes homologues c1 et c2 .

On suppose que ce gène peut prendre deux formes différentes appelées allèles : l’allèle A et l’allèle a. Le génotype d’un individu est la composition allélique c’est-à-dire la donnée des deux allèles présents sur ses gènes.

Dans notre cas, on a les génotypes ci-dessous : 1 SA DM grand oral Term spécialité maths 2024-2025 ❍ ❍❍ c2 c1 ❍❍❍ A a A AA Aa a aA aa Ainsi, il y a 3 génotypes différents : 2 allèles A (AA), 1 allèle A et 1 allèle a (Aa ou aA) et 2 allèles a (aa).

Les individus ayant un génotype AA ou aa sont dit homozygotes et les autres, ayant un génotype Aa, sont appelés hétérozygotes. On considère une population (appelée la génération 0) dans laquelle un individu choisi au hasard présente le génotype AA avec la probabilité r0 , le génotype Aa avec la probabilité s0 et le génotype aa avec la probabilité t0 . Un enfant hérite d’un gène de chacun de ses parents, chaque choix de gène se faisant au hasard.

De plus, on admet que les appariements sont aléatoires, c’est-à-dire que les couples de parents se forment au hasard en regard des génotypes étudiés. Pour tout entier naturel n, on appelle rn , sn et tn les probabilités pour un individu de la n-ième génération de présenter respectivement le génotype AA, Aa ou aa. On s’intéresse à la façon dont évoluent ces probabilités au fil des générations. 1.

Calcul de r1 . (a) On suppose ici que la mère présente le génotype AA, compléter l’arbre suivant, et en déduire la probabilité pour un individu de génération 1 d’être de génotype AA sachant que sa mère est de génotype AA. Mère Père AA Enfant ... AA r0 ... AA ... Aa AA ... Aa ... aa ... Aa (b) On suppose maintenant que la mère présente le génotype Aa, à l’aide d’un arbre pondéré du même type que le précédent, calculer la probabilité pour un individu de génération 1 d’être de génotype AA sachant que sa mère est de génotype Aa. (c) Sachant que sa mère est de génotype aa, quelle est la probabilité pour un individu de génération 1 d’être de génotype AA? (d) Déterminer r1 en fonction de r0 et s0 . 2.

En utilisant la symétrie des hypothèses en A et a, déterminer t1 en fonction de t0 et s0 . En déduire s1 en fonction de r0 , s0 et t0 . 3.

En notant d = r0 − t0 , exprimer en fonction de d les nombres r1 , s1 et t1 . 2 SA DM grand oral Term spécialité maths 2024-2025 4.

En vérifiant que r1 − t1 = d, exprimer en fonction de d les nombres r2 , s2 et t2 . Que peut-on dire des suites (rn ), (sn ) et (tn )? C’est le modèle de Hardy-Weinberg. Exercice 3 Les tests diagnostiques Une étude a été menée pour estimer les performances diagnostiques du test sérologique Luminex® de détection du virus Ebola.

La sensibilité a été estimée à 90% et la spécificité à 95%. Partie A Etude du cas de la Guinée En Guinée, la prévalence de l’infection au virus Ebola est estimée à 5%. 1.

En reprenant les définitions et notations des événements données ci-dessous, représenter la situation par un arbre pondéré. 2.

Calculer la probabilité qu’un test soit positif. 3.

Calculer les valeurs prédictives positive et négative. Interpréter dans le contexte de l’énoncé. 4.

Calculer la probabilité pe qu’un test commette une erreur. Définitions et notations Pour l’étude des performances d’un test de dépistage, on utilise la terminologie suivante : en notant T l’événement « le test est positif » et M l’événement « le sujet souffre de la maladie étudiée » • la prévalence notée p est P (M); • la sensibilité notée SE est PM (T ); • la spécificité notée SP est PM (T ); • la valeur prédictive positive notée VPP est PT (M); • la valeur prédictive négative notée VPN est PT (M ). Lorsqu’un test est positif sur un sujet sain, on parle de faux-positif et lorsqu’un test est négatif sur un sujet malade, on parle de faux-négatif. Partie B Influence de la prévalence sur les résultats du test Luminex® Dans cette partie, la proportion de malades dans la population est p (où p ∈]0; 1[). 1.

Exprimer P (T ) en fonction de p. 2.

En déduire P (T ) en fonction de p. 0, 9p . 0, 85p + 0, 05 De même, exprimer la valeur prédictive négative du test Luminex® en fonction de p. 3.

Montrer que la valeur prédictive positive du test Luminex® est égale à 4.

On note f la fonction qui à p ∈]0; 1[ associe : f (p) = 0, 9p 0, 85p + 0, 05 . 3 SA DM grand oral Term spécialité maths 2024-2025 (a) Etudier les variations de la fonction f sur ]0; 1[.

Quelle semble être l’influence de la prévalence sur les valeurs prédictives ? (b) Représenter graphiquement la fonction f , pour une prévalence allant de 0 à 10 %.

Que vautelle pour p = 0, 1? p = 0, 01? p = 0, 001? En quoi ces observations illustrent-t-elles le point info ci-dessous? Info Dans la construction d’une enquête épidémiologique, il est fondamental de connaître la prévalence de la maladie, souvent faible (inférieure à 1%).

Un dépistage systématique de toute la population pour une maladie rare a l’inconvénient de fournir beaucoup de faux-positifs.

Ceci génère alors beaucoup d’inquiétude dans la population, c’est l’un des problèmes éthiques liés à la mise en place de tests de dépistage systématiques d’une maladie rare. Exercice 4 Paradoxe de Simpson 4 SA DM grand oral Term spécialité maths 2024-2025 Exercice 5 Loi de refroidissement de Newton Dans sa cuisine, dont la température ambiante est constante et égale à 22 °C, Justine suit la recette d’une tarte qui doit cuire dans un four à la température de 180 °C et doit être servie idéalement à une température de 25 °C. Elle souhaite connaître le temps qu’elle devra encore attendre pour déguster sa tarte. Justine connaît la loi de refroidissement de Newton : « La vitesse de refroidissement d’un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant.

» Elle traduit cette loi en notant θ(t) la température (en degré Celsius) de la tarte à l’instant t (en minute) par l’équation différentielle (E) : θ′ (t) = α(θ(t) − 22), où α est une constante. 1.

Quel est le signe.... »