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Carte mΓ©moire mathΓ©matiques TD: TRIGONOMETRIE

PubliΓ© le 17/09/2023

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Β« TRIGONOMETRIE  Valeurs remarquables : π‘₯ 0 cos π‘₯ 1 sin π‘₯ 0 tan π‘₯ 0 πœ‹ πœ‹ πœ‹ 6 4 3 √3 √2 1 2 2 2 1 √2 √3 2 2 2 √3 1 √3 3 πœ‹ 2 πœ‹ 0 βˆ’1 1 0 0  Les Γ©lΓ©mentaires: βˆ€π‘₯ βˆˆβ„ βˆ’1 ≀ cos π‘₯ ≀ 1 βˆ’1 ≀ sin π‘₯ ≀ 1 cos2 π‘₯ + sin2 π‘₯ = 1 πœ‹ βˆ€ π‘₯ β‰  + π‘˜πœ‹; π‘˜ ∈ β„€ 2 sin π‘₯ tan π‘₯ = cos π‘₯ 1 1 + tan π‘₯ = cos 2 π‘₯ 2 2  Angles associΓ©s Γ  π‘₯ : Tour cos(π‘₯ + 2πœ‹) = cos π‘₯ sin(π‘₯ + 2πœ‹) = sin π‘₯ tan(π‘₯ + 2πœ‹) = tan π‘₯ Angle opposΓ© cos(βˆ’π‘₯ ) = cos π‘₯ sin(βˆ’π‘₯ ) = βˆ’ sin π‘₯ tan(βˆ’π‘₯ ) = βˆ’ tan π‘₯ Demi-tour cos(π‘₯ + πœ‹) = βˆ’ cos π‘₯ sin(π‘₯ + πœ‹) = βˆ’ sin π‘₯ tan(π‘₯ + πœ‹) = βˆ’ tan π‘₯ Quart de tour direct πœ‹ cos (π‘₯ + ) = βˆ’ sin π‘₯ 2 πœ‹ sin (π‘₯ + ) = cos π‘₯ 2 πœ‹ 1 tan (π‘₯ + ) = βˆ’ 2 tan π‘₯ Quart de tour indirect Angle supplΓ©mentaire Angle complΓ©mentaire πœ‹ πœ‹ cos (π‘₯ βˆ’ ) = sin π‘₯ cos ( βˆ’ π‘₯) = sin π‘₯ 2 2 cos(πœ‹ βˆ’ π‘₯ ) = βˆ’ cos π‘₯ πœ‹ πœ‹ ( ) sin πœ‹ βˆ’ π‘₯ = sin π‘₯ sin (π‘₯ βˆ’ ) = βˆ’ cos π‘₯ sin ( βˆ’ π‘₯) = cos π‘₯ 2 2 ( ) tan πœ‹ βˆ’ π‘₯ = βˆ’ tan π‘₯ πœ‹ 1 πœ‹ 1 tan (π‘₯ βˆ’ ) = βˆ’ tan ( βˆ’ π‘₯) = 2 tan π‘₯ 2 tan π‘₯ 3  Formules d’addition : cos(π‘Ž + 𝑏) = cos π‘Ž cos 𝑏 βˆ’ sin π‘Ž sin 𝑏 cos(π‘Ž βˆ’ 𝑏) = cos π‘Ž cos 𝑏 + sin π‘Ž sin 𝑏 tan π‘Ž + tan 𝑏 tan(π‘Ž + 𝑏) = 1 βˆ’ tan π‘Ž tan 𝑏 sin(π‘Ž + 𝑏) = sin π‘Ž cos 𝑏 + cos π‘Ž sin 𝑏 tan(π‘Ž βˆ’ 𝑏) = tan π‘Ž βˆ’ tan 𝑏 1 + tan π‘Ž tan 𝑏 sin(π‘Ž βˆ’ 𝑏) = sin π‘Ž cos 𝑏 βˆ’ cos π‘Ž sin 𝑏  Formules de duplication : cos 2π‘₯ = cos 2 π‘₯ βˆ’ sin2 π‘₯ = 2 cos 2 π‘₯ βˆ’ 1 = 1 βˆ’ 2 sin2 π‘₯ sin 2π‘₯ = 2 sin π‘₯ cos π‘₯ tan 2π‘₯ = 2 tan π‘₯ 1 βˆ’ tan2 π‘₯ 1 + cos 2π‘₯ cos π‘₯ = 2 1 βˆ’ cos 2π‘₯ sin2 π‘₯ = 2 2 4  Transformation de Produits en Sommes : 1 cos π‘Ž cos 𝑏 = [cos(π‘Ž βˆ’ 𝑏) + cos(π‘Ž + 𝑏)] 2 1 sin π‘Ž cos 𝑏 = [sin(π‘Ž βˆ’ 𝑏) + sin(π‘Ž + 𝑏)] 2 1 sin π‘Ž sin 𝑏 = [cos(π‘Ž βˆ’ 𝑏) βˆ’ cos(π‘Ž + 𝑏)] 2 1 cos π‘Ž sin 𝑏 = βˆ’ [sin(π‘Ž βˆ’ 𝑏) βˆ’ sin(π‘Ž + 𝑏)] 2  Transformation de Sommes en Produits : 𝑝+π‘ž π‘βˆ’π‘ž cos 𝑝 + cos π‘ž = 2 cos ( ) cos ( ) 2 2 𝑝+π‘ž π‘βˆ’π‘ž cos 𝑝 βˆ’ cos π‘ž = βˆ’2 sin ( ) sin ( ) 2 2 𝑝+π‘ž π‘βˆ’π‘ž sin 𝑝 + sin π‘ž = 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 sin 𝑝 βˆ’ sin π‘ž = 2 sin ( π‘βˆ’π‘ž 2 ) cos ( 𝑝+π‘ž 2 ) 5  Equations trigonomΓ©triques : 𝑒 = 𝑣 + 2π‘˜πœ‹ ( cos 𝑒 = cos 𝑣 ⟺ { π‘˜ ∈ β„€) 𝑒 = βˆ’ 𝑣 + 2π‘˜πœ‹ βˆ€ 𝑒 ∈ ℝ ,βˆ€ 𝑣 ∈ ℝ 𝑒 = 𝑣 + 2π‘˜πœ‹ (π‘˜ ∈ β„€) sin 𝑒 = sin 𝑣 ⟺ { 𝑒 = πœ‹ βˆ’ 𝑣 + 2π‘˜πœ‹ πœ‹ πœ‹ βˆ€ 𝑒 β‰  + π‘˜πœ‹, βˆ€ 𝑣 β‰  + π‘˜πœ‹ 2 2 tan 𝑒 = tan 𝑣 ⟺ 𝑒 = 𝑣 + π‘˜πœ‹ (π‘˜ ∈ β„€)  Equations particuliΓ¨res : πœ‹ cos 𝑑 = 0 ⇔ 𝑑 = + π‘˜πœ‹ 2 sin t = 0 ⇔ 𝑑 = π‘˜πœ‹ cos 𝑑 = βˆ’1 ⇔ 𝑑 = πœ‹ + 2π‘˜πœ‹ πœ‹ sin t = βˆ’1 ⇔ 𝑑 = βˆ’ + 2π‘˜πœ‹ 2 cos 𝑑 = 1 ⇔ 𝑑 = 2π‘˜πœ‹ πœ‹ sin t = 1 ⇔ 𝑑 = + 2π‘˜πœ‹ 2 6  Factorisation de π‘Ž cos πœ”π‘₯ + 𝑏 sin πœ”π‘₯ : Mettre βˆšπ’‚Β² + 𝒃² en facteur π‘Ž 𝑏 √ π‘Ž cos πœ”π‘₯ + 𝑏 sin πœ”π‘₯ = π‘ŽΒ² + 𝑏² ( cos πœ”π‘₯ + sin πœ”π‘₯) βˆšπ‘ŽΒ² + 𝑏² βˆšπ‘ŽΒ² + 𝑏² Factorisation en cosinus π‘Ž cos 𝛼 = βˆšπ‘ŽΒ²+𝑏² ] ] Chercher 𝛼 ∈ βˆ’πœ‹ ; πœ‹ ⁄{ 𝑏 sin 𝛼 = βˆšπ‘ŽΒ²+𝑏² On a alors : π‘Ž cos πœ”π‘₯ + 𝑏 sin πœ”π‘₯ = βˆšπ‘Ž2 + 𝑏 2 (cos 𝛼 cos πœ”π‘₯ + sin 𝛼 sin πœ”π‘₯ ) π‘Ž cos πœ”π‘₯ + 𝑏 sin πœ”π‘₯ = βˆšπ‘ŽΒ² + 𝑏² cos(πœ”π‘₯ βˆ’ 𝛼) Factorisation en sinus π‘Ž sin 𝛽 = βˆšπ‘ŽΒ²+𝑏² ] ] Chercher 𝛽 ∈ βˆ’πœ‹ ; πœ‹ ⁄{ 𝑏 cos 𝛽 = βˆšπ‘ŽΒ²+𝑏² On a alors : π‘Ž cos πœ”π‘₯ + 𝑏 sin πœ”π‘₯ = βˆšπ‘Ž2 + 𝑏 2 (sin 𝛽 cos πœ”π‘₯ + cos 𝛽 sin πœ”π‘₯ ) π‘Ž cos πœ”π‘₯ + 𝑏 sin πœ”π‘₯ = βˆšπ‘ŽΒ² + 𝑏² sin(πœ”π‘₯ + 𝛽) 7  Quelques rΓ©sultats utiles : cos(π‘˜πœ‹) = (βˆ’1)π‘˜ { βˆ€ π‘˜ ∈ β„€, sin(π‘˜πœ‹) = 0 βˆ€ π‘₯ ∈ ℝ, βˆ€ π‘˜ ∈ β„€, πœ‹ sin ( + π‘˜πœ‹) = (βˆ’1)π‘˜ 2 πœ‹ cos ( + π‘˜πœ‹) = 0 { 2 cos(π‘₯ + π‘˜πœ‹) = (βˆ’1)π‘˜ cos π‘₯ cos(π‘˜πœ‹ βˆ’ π‘₯ ) = (βˆ’1)π‘˜ cos π‘₯ sin(π‘₯ + π‘˜πœ‹) = (βˆ’1)π‘˜ sin π‘₯ { sin(π‘˜πœ‹ βˆ’ π‘₯ ) = βˆ’(βˆ’1)π‘˜ sin π‘₯ { 8 NOMBRES COMPLEXES  Les diffΓ©rentes formes d’un nombre complexe : Soient (π‘Ž , 𝑏 , πœƒ) ∈ ℝ3 et π‘Ÿ ∈ β„βˆ—+ Forme algΓ©brique Forme trigonomΓ©trique Forme exponentielle 𝑧 = π‘Ž + 𝑖𝑏 𝑧 = π‘Ÿ(cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ) 𝑧 = π‘Ÿπ‘’ π‘–πœƒ π‘Ž π‘Ž = β„œπ‘’(𝑧) et 𝑏 = β„‘π‘š(𝑧) cos πœƒ = π‘Ÿ π‘Ÿ = |𝑧| = βˆšπ‘Ž2 + 𝑏 2 et πœƒ = π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧) ⟺ { 𝑏 sin πœƒ = π‘Ÿ  EgalitΓ© de deux nombres complexes : Avec les formes algΓ©briques 𝒛 = 𝒂 + π’Šπ’ƒ et 𝒛′ = 𝒂′ + π’Šπ’ƒβ€² Avec les formes exponentielles π’Šπœ½ β€² π’Šπœ½β€² 𝒛 = 𝒓𝒆 et 𝒛 = 𝒓′𝒆 𝑧 = 𝑧 ⟺ {π‘Ž = π‘Žβ€² 𝑏 = 𝑏′ π‘Ž=0 En particulier :𝑧 = 0 ⟺ { 𝑏=0 π‘Ÿ = π‘Ÿβ€² 𝑧=𝑧 ⟺{ πœƒ = πœƒ β€² + 2π‘˜πœ‹, π‘˜ ∈ β„€ β€² β€² 10  ConjuguΓ© d’un nombre complexe : PropriΓ©tΓ©s Soit 𝒛 ∈ β„‚ ο‚· ο‚· 𝑧 = π‘Ž + 𝑖𝑏 ⟺ 𝑧̅ = π‘Ž βˆ’ 𝑖𝑏 𝑧 = π‘Ÿπ‘’ π‘–πœƒ ⟺ 𝑧̅ = π‘Ÿπ‘’ βˆ’ π‘–πœƒ ο‚· 𝑧 + 𝑧̅ = 2β„œπ‘’(𝑧) ο‚· 𝑧 βˆ’ 𝑧̅ = 2β„‘π‘š(𝑧) ο‚· 𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 1Μ… 1 ο‚· = si 𝑧 β‰  0 𝑧 𝑧̅ 𝑛 = 𝑧̅ 𝑛 βˆ€ 𝑛 ∈ β„€ ο‚· 𝑧̅̅̅ Soient Soit 𝒛 et𝒛′ ∈ β„‚ ο‚· ο‚· ο‚· Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… 𝑧 + 𝑧 β€² = 𝑧̅ + 𝑧̅′ Μ…Μ…Μ…Μ… 𝑧𝑧 β€² = 𝑧̅𝑧̅′ ̅𝑧 = 𝑧̅ si 𝑧′ β‰  0 Μ…Μ…Μ…β€² β€² 𝑧 𝑧  Module d’un nombre complexe : PropriΓ©tΓ©s ο‚· |𝑧 | = 0 ⟺ 𝑧 = 0 ο‚· |βˆ’π‘§| = |𝑧| et |𝑧̅| = |𝑧| ο‚· |𝑧 β€² | = |𝑧′| π‘Žπ‘£π‘’π‘ 𝑧′ β‰  0 ο‚· |𝑧 + 𝑧 β€² | ≀ |𝑧| + |𝑧′| ο‚· |𝑧𝑧′| = |𝑧||𝑧′| 𝑧 |𝑧| ο‚· |𝑧 𝑛 | = |𝑧 |𝑛 βˆ€ 𝑛 ∈ β„€ 11  Arguments : Si 𝒛 et𝒛′ sont deux nombres complexes non nuls, alors : ο‚· π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧𝑧′) = π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧) + π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧′) 𝑧 ο‚· π‘Žπ‘Ÿπ‘” ( β€² ) = π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧) βˆ’ π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧′) 𝑧 1 ο‚· π‘Žπ‘Ÿπ‘” ( ) = βˆ’π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧) ο‚· π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧 𝑛 ) = π‘›π‘Žπ‘Ÿπ‘”(𝑧) 𝑧  Formules d’Euler et Formule de Moivre : Formules d’Euler Formule de Moivre βˆ€πœƒ βˆˆβ„βˆΆ cos πœƒ = 𝑒 π‘–πœƒ + 𝑒 βˆ’ π‘–πœƒ 2 et sin πœƒ = 𝑒 π‘–πœƒ βˆ’ 𝑒 βˆ’ π‘–πœƒ 2𝑖 βˆ€ πœƒ ∈ ℝ, βˆ€ 𝑛 ∈ β„€ ∢ 𝑛 𝑛 π‘–πœƒ (cos πœƒ + 𝑖 sin πœƒ) = cos π‘›πœƒ + 𝑖 sin π‘›πœƒ ou (𝑒 ) = 𝑒 π‘–π‘›πœƒ 12  Equation du second degrΓ© π’‚π’›πŸ + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 𝟎 : Discriminant βˆ†= π’ƒπŸ βˆ’ πŸ’π’‚π’„ Si βˆ†β‰₯ 0 alors 𝑧1 = βˆ’π‘ βˆ’ βˆšβˆ† 2π‘Ž et 𝑧2 = βˆ’π‘ + βˆšβˆ† 2π‘Ž βˆ† est un rΓ©el Si βˆ†< 0 alors 𝑧1 = βˆ’π‘ βˆ’ π‘–βˆšβˆ’βˆ† 2π‘Ž et 𝑧2 = βˆ’π‘ +𝑖 βˆšβˆ’βˆ† 2π‘Ž π‘₯2 βˆ’ 𝑦2 = π‘Ž βˆ† n’est pas un rΓ©el Pour 𝛿 = π‘₯ + 𝑖𝑦, 𝛿 2 = βˆ† ⟺ {π‘₯ 2 + 𝑦 2 = βˆšπ‘Ž2 + 𝑏 2 2π‘₯𝑦 = 𝑏 Et alors 𝑧1 = βˆ’π‘ βˆ’ 𝛿 2π‘Ž et 𝑧2 =.... Β»

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