Carte mΓ©moire mathΓ©matiques TD: TRIGONOMETRIE
PubliΓ© le 17/09/2023
Extrait du document
Β« TRIGONOMETRIE ο¨ Valeurs remarquables : π₯ 0 cos π₯ 1 sin π₯ 0 tan π₯ 0 π π π 6 4 3 β3 β2 1 2 2 2 1 β2 β3 2 2 2 β3 1 β3 3 π 2 π 0 β1 1 0 0 ο¨ Les Γ©lΓ©mentaires: βπ₯ ββ β1 β€ cos π₯ β€ 1 β1 β€ sin π₯ β€ 1 cos2 π₯ + sin2 π₯ = 1 π β π₯ β + ππ; π β β€ 2 sin π₯ tan π₯ = cos π₯ 1 1 + tan π₯ = cos 2 π₯ 2 2 ο¨ Angles associΓ©s Γ π₯ : Tour cos(π₯ + 2π) = cos π₯ sin(π₯ + 2π) = sin π₯ tan(π₯ + 2π) = tan π₯ Angle opposΓ© cos(βπ₯ ) = cos π₯ sin(βπ₯ ) = β sin π₯ tan(βπ₯ ) = β tan π₯ Demi-tour cos(π₯ + π) = β cos π₯ sin(π₯ + π) = β sin π₯ tan(π₯ + π) = β tan π₯ Quart de tour direct π cos (π₯ + ) = β sin π₯ 2 π sin (π₯ + ) = cos π₯ 2 π 1 tan (π₯ + ) = β 2 tan π₯ Quart de tour indirect Angle supplΓ©mentaire Angle complΓ©mentaire π π cos (π₯ β ) = sin π₯ cos ( β π₯) = sin π₯ 2 2 cos(π β π₯ ) = β cos π₯ π π ( ) sin π β π₯ = sin π₯ sin (π₯ β ) = β cos π₯ sin ( β π₯) = cos π₯ 2 2 ( ) tan π β π₯ = β tan π₯ π 1 π 1 tan (π₯ β ) = β tan ( β π₯) = 2 tan π₯ 2 tan π₯ 3 ο¨ Formules dβaddition : cos(π + π) = cos π cos π β sin π sin π cos(π β π) = cos π cos π + sin π sin π tan π + tan π tan(π + π) = 1 β tan π tan π sin(π + π) = sin π cos π + cos π sin π tan(π β π) = tan π β tan π 1 + tan π tan π sin(π β π) = sin π cos π β cos π sin π ο¨ Formules de duplication : cos 2π₯ = cos 2 π₯ β sin2 π₯ = 2 cos 2 π₯ β 1 = 1 β 2 sin2 π₯ sin 2π₯ = 2 sin π₯ cos π₯ tan 2π₯ = 2 tan π₯ 1 β tan2 π₯ 1 + cos 2π₯ cos π₯ = 2 1 β cos 2π₯ sin2 π₯ = 2 2 4 ο¨ Transformation de Produits en Sommes : 1 cos π cos π = [cos(π β π) + cos(π + π)] 2 1 sin π cos π = [sin(π β π) + sin(π + π)] 2 1 sin π sin π = [cos(π β π) β cos(π + π)] 2 1 cos π sin π = β [sin(π β π) β sin(π + π)] 2 ο¨ Transformation de Sommes en Produits : π+π πβπ cos π + cos π = 2 cos ( ) cos ( ) 2 2 π+π πβπ cos π β cos π = β2 sin ( ) sin ( ) 2 2 π+π πβπ sin π + sin π = 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 sin π β sin π = 2 sin ( πβπ 2 ) cos ( π+π 2 ) 5 ο¨ Equations trigonomΓ©triques : π’ = π£ + 2ππ ( cos π’ = cos π£ βΊ { π β β€) π’ = β π£ + 2ππ β π’ β β ,β π£ β β π’ = π£ + 2ππ (π β β€) sin π’ = sin π£ βΊ { π’ = π β π£ + 2ππ π π β π’ β + ππ, β π£ β + ππ 2 2 tan π’ = tan π£ βΊ π’ = π£ + ππ (π β β€) ο¨ Equations particuliΓ¨res : π cos π‘ = 0 β π‘ = + ππ 2 sin t = 0 β π‘ = ππ cos π‘ = β1 β π‘ = π + 2ππ π sin t = β1 β π‘ = β + 2ππ 2 cos π‘ = 1 β π‘ = 2ππ π sin t = 1 β π‘ = + 2ππ 2 6 ο¨ Factorisation de π cos ππ₯ + π sin ππ₯ : Mettre βπΒ² + πΒ² en facteur π π β π cos ππ₯ + π sin ππ₯ = πΒ² + πΒ² ( cos ππ₯ + sin ππ₯) βπΒ² + πΒ² βπΒ² + πΒ² Factorisation en cosinus π cos πΌ = βπΒ²+πΒ² ] ] Chercher πΌ β βπ ; π β{ π sin πΌ = βπΒ²+πΒ² On a alors : π cos ππ₯ + π sin ππ₯ = βπ2 + π 2 (cos πΌ cos ππ₯ + sin πΌ sin ππ₯ ) π cos ππ₯ + π sin ππ₯ = βπΒ² + πΒ² cos(ππ₯ β πΌ) Factorisation en sinus π sin π½ = βπΒ²+πΒ² ] ] Chercher π½ β βπ ; π β{ π cos π½ = βπΒ²+πΒ² On a alors : π cos ππ₯ + π sin ππ₯ = βπ2 + π 2 (sin π½ cos ππ₯ + cos π½ sin ππ₯ ) π cos ππ₯ + π sin ππ₯ = βπΒ² + πΒ² sin(ππ₯ + π½) 7 ο¨ Quelques rΓ©sultats utiles : cos(ππ) = (β1)π { β π β β€, sin(ππ) = 0 β π₯ β β, β π β β€, π sin ( + ππ) = (β1)π 2 π cos ( + ππ) = 0 { 2 cos(π₯ + ππ) = (β1)π cos π₯ cos(ππ β π₯ ) = (β1)π cos π₯ sin(π₯ + ππ) = (β1)π sin π₯ { sin(ππ β π₯ ) = β(β1)π sin π₯ { 8 NOMBRES COMPLEXES ο¨ Les diffΓ©rentes formes dβun nombre complexe : Soient (π , π , π) β β3 et π β ββ+ Forme algΓ©brique Forme trigonomΓ©trique Forme exponentielle π§ = π + ππ π§ = π(cos π + π sin π) π§ = ππ ππ π π = βπ(π§) et π = βπ(π§) cos π = π π = |π§| = βπ2 + π 2 et π = πππ(π§) βΊ { π sin π = π ο¨ EgalitΓ© de deux nombres complexes : Avec les formes algΓ©briques π = π + ππ et πβ² = πβ² + ππβ² Avec les formes exponentielles ππ½ β² ππ½β² π = ππ et π = πβ²π π§ = π§ βΊ {π = πβ² π = πβ² π=0 En particulier :π§ = 0 βΊ { π=0 π = πβ² π§=π§ βΊ{ π = π β² + 2ππ, π β β€ β² β² 10 ο¨ ConjuguΓ© dβun nombre complexe : PropriΓ©tΓ©s Soit π β β ο· ο· π§ = π + ππ βΊ π§Μ = π β ππ π§ = ππ ππ βΊ π§Μ = ππ β ππ ο· π§ + π§Μ = 2βπ(π§) ο· π§ β π§Μ = 2βπ(π§) ο· π§π§Μ = |π§|2 1Μ 1 ο· = si π§ β 0 π§ π§Μ π = π§Μ π β π β β€ ο· π§Μ Μ Μ Soient Soit π etπβ² β β ο· ο· ο· Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π§ + π§ β² = π§Μ + π§Μ β² Μ Μ Μ Μ π§π§ β² = π§Μ π§Μ β² Μ π§ = π§Μ si π§β² β 0 Μ Μ Μ β² β² π§ π§ ο¨ Module dβun nombre complexe : PropriΓ©tΓ©s ο· |π§ | = 0 βΊ π§ = 0 ο· |βπ§| = |π§| et |π§Μ | = |π§| ο· |π§ β² | = |π§β²| ππ£ππ π§β² β 0 ο· |π§ + π§ β² | β€ |π§| + |π§β²| ο· |π§π§β²| = |π§||π§β²| π§ |π§| ο· |π§ π | = |π§ |π β π β β€ 11 ο¨ Arguments : Si π etπβ² sont deux nombres complexes non nuls, alors : ο· πππ(π§π§β²) = πππ(π§) + πππ(π§β²) π§ ο· πππ ( β² ) = πππ(π§) β πππ(π§β²) π§ 1 ο· πππ ( ) = βπππ(π§) ο· πππ(π§ π ) = ππππ(π§) π§ ο¨ Formules dβEuler et Formule de Moivre : Formules dβEuler Formule de Moivre βπ βββΆ cos π = π ππ + π β ππ 2 et sin π = π ππ β π β ππ 2π β π β β, β π β β€ βΆ π π ππ (cos π + π sin π) = cos ππ + π sin ππ ou (π ) = π πππ 12 ο¨ Equation du second degrΓ© πππ + ππ + π = π : Discriminant β= ππ β πππ Si ββ₯ 0 alors π§1 = βπ β ββ 2π et π§2 = βπ + ββ 2π β est un rΓ©el Si β< 0 alors π§1 = βπ β πβββ 2π et π§2 = βπ +π βββ 2π π₯2 β π¦2 = π β nβest pas un rΓ©el Pour πΏ = π₯ + ππ¦, πΏ 2 = β βΊ {π₯ 2 + π¦ 2 = βπ2 + π 2 2π₯π¦ = π Et alors π§1 = βπ β πΏ 2π et π§2 =.... Β»
βββ APERΓU DU DOCUMENT βββ
Liens utiles
- carte mentale rΓ©chauffement climatique svt
- histoire et mΓ©moire dissertation
- LA MΓMOIRE (rΓ©sumΓ©)
- BERGSON : toute conscience est mΓ©moire
- Bergson: La mΓ©moire