X-ens PSI suejt 2017

« (PSI∗ ) X-ENS 2017 - PSI Notations Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes. - Pour toute fonction définie sur un intervalle de R et tout entier n ≥ 1, on note f (n) la dérivée n-ième de f sur cet intervalle (si elle existe).

Ainsi, f (1) = f 0 , f (2) = f 00 etc.

On convient que f (0) = f . - Pour tout entier n ≥ 1, on note n! = 1 × · · · × n la factorielle de n.

On convient que 0! = 1. - Pour tous m, n ∈ N∗ , Mn,m (R) désigne l’ensemble des matrices à coefficients réels ayant n lignes et m colonnes.

On pose Mn (R) = Mn,n (R).

Le déterminant d’une matrice carrée A = [ai,j ]1≤i,j≤n ∈ Mn (R) sera noté det(A).

Sa transposée est notée tA = [aj,i ]1≤j,i≤n .

Lorsque A = [a1,1 ] ∈ M1,1 (R) on identifie A au réel a1,1 . - On note R[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

Pour tout entier n ≥ 0, on désigne par Rn [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n.

Les polynômes de R[X] et les fonctions polynomiales associées seront notées identiquement.

Ainsi, si P ∈ R[X] est un polynôme, alors la fonction polynomiale associée est encore notée P . - Étant donné un R-espace vectoriel de dimension finie E on note 0E l’élément nul de E, et on note IdE l’application identité de E dans lui-même.

On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E. Si L ∈ L(E) est un endomorphisme de E et n ≥ 2 un entier naturel, on note Ln l’application composée de L avec lui même n fois : Ln = L ◦ L ◦ · · · ◦ L (n fois).

Par convention, L0 = IdE et L1 = L.

Le noyau et l’image de L seront notés respectivement ker(L) et Im(L). Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, on note F1 + F2 la somme de ces sous-espaces. On écrira F1 ⊕ F2 pour signifier que cette somme est directe.

Si, de plus, E est muni d’un produit scalaire, on écrira F1 ⊕⊥ F2 pour signifier que la somme est orthogonale, c’est à dire que F1 et F2 sont orthogonaux entre eux.

L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F de E sera noté F ⊥ . On notera dim(F ) la dimension de F . Partie I Soit m ≥ 2 un entier naturel et E un R-espace vectoriel de dimension 2m + 1.

Cet espace est muni d’un produit scalaire (.|.).

Soient T, M deux endomorphismes de E vérifiant les hypothèses suivantes : (H1) T 2m 6= 0L(E) et T 2m+1 = 0L(E) . (H2) M 2 = IdE . (H3) ∀(v, w) ∈ E 2 , (M (v)|w) = (v|M (w)). (H4) T ◦ M + M ◦ T = 0L(E) . On pose dans la suite F + = ker(M − IdE ), F − = ker(M + IdE ) On considère l’application S de E × E dans R définie par ∀(v, w) ∈ E 2 , S(v, w) = (v|T (w)) + (T (v)|w) et on note G l’ensemble des éléments u ∈ E vérifiant les deux propriétés suivantes : (a) u ∈ Im(T ), 1/5 (b) ∀v ∈ E, S(u, v) = 0. 1.

Pour tout vecteur v ∈ E, on pose v + = v + M (v), v − = v − M (v) (a) Montrer que ∀v ∈ E, v + ∈ F + et v − ∈ F − . (b) Montrer que E = F + ⊕⊥ F − . (c) Montrer que ∀v ∈ F + , T (v) ∈ F − et que ∀v ∈ F − , T (v) ∈ F + . En déduire que F + et F − sont stables par T 2 . 2.

Montrer que pour tout k ∈ {0, 1, .

.

.

, 2m}, Im(T k+1 ) ⊂ Im(T k ) et Im(T k+1 ) 6= Im(T k ). 3.

En déduire que pour tout k ∈ {0, .

.

.

, 2m + 1}, on a dim(Im(T k )) = 2m + 1 − k, dim(ker(T k )) = k 4.

En déduire aussi que Im(T k ) = ker(T 2m+1−k ) pour 0 ≤ k ≤ 2m + 1. 5.

Soit k ∈ {1, 2, .

.

.

, 2m + 1} et z ∈ Im(T k )⊥ ∩ Im(T k−1 ) tel que z 6= 0E .

Après avoir justifié l’existence d’un tel vecteur z, montrer que T 2m+1−k (z) 6= 0E . 6.

Montrer que pour tout nombre réel α, l’endomorphisme IdE + αT 2 est bijectif et que 2 −1 (IdE + αT ) = m X (−1)k αk T 2k k=0 où (IdE + αT 2 )−1 désigne l’endomorphisme inverse de IdE + αT 2 . 7.

Montrer que G est un sous-espace vectoriel de E et que G ∩ ker(T ) = {0E }. 8.

En déduire que l’application (v, w) ∈ G × G 7→ (T (v)|T (w)) est un produit scalaire sur G. 9.

Soit k ∈ N. (a) Montrer que M ◦ T k = (−1)k T k ◦ M . (b) En déduire que Im(T k ) et ker(T k ) sont stables par M . 10.

Montrer que l’une des deux assertions suivantes est vraie : (i) ker(T ) ⊂ F + , (ii) ker(T ) ⊂ F − . 11.

On suppose ici que ker(T ) ⊂ F + . (a) Montrer que ∀z ∈ F − , T 2m (z) = 0E . (b) Montrer que Im(T )⊥ ⊂ F +.... »