Qu'est-ce qu'un axiome ?

« Traditionnellement on distinguait les axiomes des postulats.

Les postulats, disait-on, sont des propositions indémontrables qui se présentent comme des théorèmes et chaque domaine mathématique a des postulats qui lui sont propres (il y a des postulats de la géométrie, mais il y a aussi ceux de la mécanique classique : principe de l'inertie, de l'indépendance des mouvements, de l'égalité de l'action et de la réaction).

Les axiomes au contraire seraient des exigences purement logiques, s'imposant dans tous les domaines de la mathématique, s'imposant même à tout esprit en n'importe quelle opération mentale : ils seraient absolument évidents.

Ainsi un axiome tel que : le tout est plus grand que la partie ou tel que : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles était considéré comme une pure évidence logique, comme une expression dérivée des principes fondamentaux de la raison humaine, principe d'identité ou principe de contradiction. Mais cette conception de l'axiome est battue en brèche aujourd'hui.

L'axiome lui-même apparaîtra comme une définition déguisée.

Par exemple l'axiome qui pose que le tout est plus grand que la partie est en réalité la définition d'un certain ordre de totalité, à savoir la totalité finie.

Cet axiome ne convient plus dans la mathématique des ensembles infinis.

Considérons d'une part l'ensemble infini des nombres entiers par exemple, d'autre part l'ensemble infini des nombres pairs. Il est possible d'apparier terme à terme, de mettre en «correspondance biunivoque » les deux ensembles : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13... 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26... En ce sens les deux ensembles sont « égaux », ils ont « la même puissance».

Et pourtant l'ensemble des nombres pairs est une partie de l'ensemble dès nombres entiers.

Dans cette perspective le tout est égal à la partie.

L'axiome n'est donc lui-même qu'une règle opératoire qui délimite un certain champ d'opérations possibles.. »