Quel est l'objet des mathématiques ?

« OBJET DES MATHÉMATIQUES — A — L'empirisme. Selon Stuart Mill « les points, les lignes, les cercles, que chacun a dans l'esprit, sont de simples copies des points, lignes, cercles qu'il a connus par l'expérience [...] la géométrie a pour objet les lignes, les angles et les figures tels qu'ils existent et les définitions doivent être considérées comme nos premières et nos plus évidentes généralisations relatives à ces objets naturels ».

Il en résulte que les postulats sont « des vérités expérimentales, des généralisations de l'observation ».

Par exemple le sixième postulat d'Euclide (deux droites ne peuvent enclore un espace) est une « induction résultant du témoignage de nos sens ».

— Si l'on donne aux mathématiques cette origine expérimentale on comprend mal leur certitude apodictique.

D'ailleurs « le droit est père du courbe » comme disait Platon, ce qui signifie que les objets réels ne peuvent être le modèle des objets mathématiques. — B — Le conventionnalisme. Poincaré considère les définitions et les postulats comme de pures conventions : « notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité que par la nécessité d'éviter toute contradiction ».

Ainsi s'expliquerait l'existence des géométries non euclidiennes (Lobatchevsky, Riemann) et il faudrait dire que : « une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode ».

— Si l'on admettait cette thèse de tendance pragmatiste, la part d'arbitraire que renfermeraient nos concepts mathématiques justifierait cette boutade de Bertrand Russel : « les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait pas de quoi on parle ni si ce que l'on dit est vrai ». — C — Le rationalisme. Descartes croit que les idées mathématiques sont innées et que nous les trouvons dans notre esprit avec « leurs vraies et immuables natures » (Cf.

Platon).

— Ce réalisme des idées est bien douteux et Kant cherche à rendre compte de la nécessité et de l'universalité des concepts mathématiques en en faisant des constructions a priori.

« Les mathématiques sont, dit-il, une connaissance rationnelle par construction de concepts ».

C'est parce qu'une matière nous est donnée a priori (les intuitions pures de l'espace et du temps) que nous pouvons former des concepts qui ne sont ni conventionnels ni empiriques mais a priori, universels et nécessaires.

Et il en est de même pour les postulats, jugements synthétiques a priori, qui énoncent les propriétés évidentes que nous constatons appartenir à l'espace.

La thèse de Poincaré ne vaudrait que pour les géométries non euclidiennes fondées sur un concept de l'espace auquel ne correspond aucune intuition. En prenant le mot "grandeur" en son sens le plus général (on entend par grandeur, tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution, aussi bien un nombre qu'une portion d'espace), on peut dire que les mathématiques sont la science des grandeurs. En ce sens, les mathématiques apparaissent comme les plus abstraites et les plus générales des sciences.

La logique formelle (qui traite des concepts, des jugements et des raisonnements indépendamment de leur contenu, et qui pourrait ainsi paraître plus générale encore) n'est pas science à proprement parler.

Elle n'étudie pas ce qu'il y a de plus général dans les choses, mais la pensée ellemême.

Aussi, prend-elle un caractère normatif: son but est de déterminer les conditions de la pensée juste.

Elle appartient à la philosophie. a) Les mathématiques pures considèrent les idées de quantité, de nombre et de rapport sans les supposer en aucun objet particulier. Ainsi, l'arithmétique étudie le nombre indépendamment de son contenu.

L'algèbre, plus abstraite encore, désigne un nombre quelconque par une lettre et, laissant toute valeur particulière indéterminée, n'étudie que des rapports entre les valeurs: y = x3 + 6. b) Avec la géométrie intervient la notion de grandeur concrète, d'espace.

La géométrie est "la science des propriétés de l'étendue" ou, si l'on veut, "la science des formes ou des figures qu'il est possible de tracer dans l'espace" (Lalande).

O n peut donc considérer la géométrie comme une première application des mathématiques. Les grandeurs concrètes peuvent être comparées les unes aux autres, déterminées les uns par rapport aux autres: autrement dit, elles peuvent être mesurées.

Or, la géométrie tend à ne plus considérer dans une grandeur que le fait qu'elle est mesurable.

Elle ramène donc la notion de grandeur concrète à la notion de quantité mesurable. c) On peut s e demander, dès lors, s'il y a une mathématique ou des mathématiques, et s'il ne convient pas de distinguer les mathématiques concrètes (telle la géométrie, étudiant l'espace) et les mathématiques pures, étudiant les quantités discontinues. Mais, ces deux parties tendent à s'unir: les mathématiques sont un effort vers la quantité pure, et cet effort a, dans une large mesure, abouti.

Descartes a montré que l'objet de la géométrie peut être exprimé dans le langage des équations: il a découvert en effet la géométrie analytique, qui "traduit les figures et les propriétés géométriques au moyen de l'analyse, c'est-à-dire de l'algèbre, en exprimant chaque point d'une figure par ses coordonnées." (Lalande).

Le calcul infinitésimal (découvert par Newton et Leibniz) a permis d'exprimer les variations continues dans le langage du nombre.. »