Les mathématiques: fiche

« dimanche 14 septembre 2025 Les mathématiques INTRODUCTION Pdv positif des maths pour les philosophes: mathématiques sont vécues et décrites comme des sciences exceptionnelles • Spinoza dans Ethique: il aurait très bien pu se faire « que le genre humain fut à jamais ignorant de la vérité, si la mathématique, occupée non des ns mais seulement des essences et des propriétés des gures, n’avait fait luire devant les hommes une autre norme de vérité »; sauve les hommes de l’ « ignorance naturelle ». • Pascal quali e les démonstrations géométriques de « méthodiques et parfaites » • Descartes: les mathématiques par « la certitude et l’évidence de leurs raisons » nous indiquent la voie d’une connaissance véritable.

(Discours de la méthode) —> nous devenons plus exigeant en matière de savoir, plus critique à l’égard des autorités traditionnelles. ID des maths + leur rôle dans l’expérience humaine + qu’est-ce qui suscite en elles notre admira°? - Reconnaissance à l’égard des maths pourrait caractériser un certain moment philosophique: celui des commencements càd une prise de conscience, d’un constat entre la solidité du discours mathématique et la fragilité des autres discours. • Platon fait des maths un pt de passage décisif pour la con scf (epistémè): - On leur reconnait le statut de srx « elles saisissent qqc de l’essence » ≠ art qui produit et satisfait désirs - Platon République: « Nous leur avons donné à plusieurs reprises le nom de sciences pour nous conformer à l’usage; mais elle devraient porter un autre nom, qui impliquerait plus de clarté que celui d’opinion, et plus d’obscurité que celui de science ». fi fi fi 1 - —> maths participant bien de l’ « intelligence », par opp à l’ « opinion » MS elles sont et ne sont que pensée « discursive », « imagée » et « hypothétique » - Maths donc bonne qu’à n’ê dépassée: « l’arithmétique, la géométrie doivent servir de préparation à la dialectique » - Cô si maths aident à avoir une communication rationnelle avec une relat° supérieure: on se croit en mesure d’échapper à la relativité des conceptions du monde • —> Russell: Histoire des mes idées philosophiques: « Loin des passions humaines, loin même des faits pitoyables de la nature, les générations ont progressivement créé un cosmos ordonné, où la pensée pure peut habiter comme dans sa demeure naturelle, et où l’une, au moins, de nos plus nobles aspirations peut échapper au sombre exil du monde réel.

Les mathématiques nous entraînent loin de l’humain, dans le domaine de la nécessité absolue, à laquelle obéissent non seulement le monde réel, mais tous les mondes possibles ». —> interprétation quali ée par Russell comme « pythagoricienne », « une forme particulière de mysticisme lié aux mathématiques » —> maths comme pt de départ de tte éducation scf rationnelle ___________________________________________________________________________ L’OBJET DES MATHÉMATIQUES PLATON L’EXCELLENCE DES IDÉES Ménon 82a-85a + République livre VI —> q de géométrie: doublement du carré: sert à mettre à l’épreuve la doctrine de la réminiscence, selon laquelle l’acquisition du savoir n’est pas l’absorption d’un contenu d’abord étranger, mais la réappropriation progressive d’un savoir qui nous est inhérent. —> mathématiques permettent une ascension chez l’homme: le point ultime de cette ascension est le « Bien », principe suprême que Platon caractérise comme divin.

Si les maths y occupent une place déterminante c’est qu’elles sont doublement déroutantes. fi 2 —> les mathématiques font apercevoir une stabilité inédite (avoir une prise sur la mort par ex) —> la nouveauté qu’apporte live Vi de la République —> travail d’une dichotomie: - opp entre « sc » et « opinion »: maintenue, s’enrichit d’une complication interne —> distinction entre di é modalités de l’opinion (« imagination » (eikasias) et « foi » (pistis) ) associée à di é entre simulacres et objets qu’ils représentent - Distinction entre di é espèce de sc —> « connaissance discursive » (dianoia) et « intelligence » (noesis) - Donc entre « intelligence et opinion » une « connaissance intermédiaire » : partie prenante de la sc sans ttx en ê le complet dvlpmt. Con suprême (dialectique) distinguée des « arts » (technai) Place intermédiaire doit ê occ par maths: Elles sont sc véritable par l’ « obligation » qu’on y trouve « de faire usage du raisonnement et non des sens »; par les « êtres » aussi dont elles permettent de prendre con: mm si l’on y utilise des « gures visibles », on vise au-delà, vers des « choses en soi qu’on ne voit autrement que par la pensée » CCL: Platon fait donc clairement signe vers une sc + achevée encore, qui réussirait à se passer d’ « hypothèses » en nous élevant directement à la contemplation du « principe universel »; et à partir de laquelle p-t les maths elles-mm pourraient prendre une nouvelle con guration, - arbitraire et + cohérente. Citation: « Que sous le rapport de la vérité et de son contraire, la division a été faite de telle que l’image est à l’objet qu’elle reproduit comme l’opinion est à la sc » « Comment il faut diviser le monde intelligible » Réponse: « De telle sorte que pour atteindre l’une de ses parties l’âme soit obligée de se servir, comme autant d’images, des originaux du monde visible, procédant à partir d’hypothèses, non pas vers un principe, mais vers une conclusion; tandis que pour atteindre l’autre- qui aboutit à un principe anhypothétique) elle devra, partant d’une hypothèse, et sans le secours des images utilisées dans le premier cas, conduire sa recherche à l’aide des eusses idées prises en elles-mêmes.

» fi ff fi ff ff 3 ARISTOTE LES CHOSES MATHÉMATIQUES SONT-ELLES « ÊTRES » ? Métaphysique livre M chap II et III Opp à P—> interpr platonicienne: division en 2 de la réalité= choses sensibles / choses intelligibles.

CÀD tenir les « idées » pour des réalités à part entière, dotées d’une existence « séparée ». —> Citation: « rien n’est plus absurde de prétendre qu’il existe des réalités déterminées en dehors de celles que nous voyons dans l’univers sensible ». Il faut une multiplication des ê pour concevoir rapport entre réalités sensibles et réalités intelligibles.

—> existence de « réalités intermédiaires » assurant médiation (= « dieux auxquels on prête la forme de l’homme ») Il faut penser EN MM TEMPS: 1) qu’il n’y a pas d’autres réalités que les substances sensibles 2) Que objets des maths sont autres que ceux de perception sensible —> synthèse: doctrine de l’abstraction et sa légitimité Citation: « Il est nécessaire, en e et, qu’en raison de leur mode d’existence, les grandeurs mathématiques soient antérieures aux gardeurs sensibles, alors que, selon la vérité, elles leur sont postérieures, car la grandeur imparfaite, bien qu’elle soit antérieure dans l’ordre de la génération, n’en st pas moins postérieure dans l’ordre de l’essence, comme l’inanimé par rapport à l’animé » « Ainsi donc, que points, lignes et surfaces possèdent l’antériorité logique, admettons-le; mais l’antériorité logique n’entraine pas toujours l’antériorité substantielle.

L’antériorité substantielle est, en e et, le partage des êtres qui l’emportent par la faculté d’exister à l’état séparé; l’antériorité logique est celle des êtres dont la notion entre dans la composition d’autres notions; or ces deux antériorités ne sont pas coextensives.

Si, en e et, les qualités n’existent pas à part des substances, par exemple un mobile ou un blanc, le blanc possède bien sur l’homme blanc une antériorité logique, mais non pas l’antériorité substantielle, car il ne peut exister à l’état séparé, mais toujours il est lié au composé, et par composé j’entends l’homme qui est blanc.

On voit donc que ni les produits de l’abstraction n’ont l’antériorité, ni les résultats de l’addition, la postériorité substantielles: car c’est par addition d’homme à blanc que nous disons l’homme blanc.

» « Le géomètre, lui, ne le considère ni en tant qu’homme, ni en tant qu’indivisible, mais en tant que solide mathématique.

En e et, les propriétés qui appartiendraient ff ff ff ff 4 à l’homme, ne supposant même qu’il ne fût pas invisible, il est clair qu’elle speuvent aussi lui appartenir, à part de l’indivisibilité et de l’humanité.

Aussi les géomètres raisonnent-ils correctement: c’est sur des êtres que roulent leurs déçussions, et les objets de leur science sont bien des êtres, car il y a deux sens de l’Être, l’Être qui est en entéléchie et l’Être en tant que matière.

» DESCARTES VERS UNE MATHÉMATIQUE UNIVERSELLE Règles pour la direction de l’esprit dans Oeuvres philosophiques Dans Discours de la méthode: aime maths « à cause de l’évidence et de la certitude de leurs raisons » MS critique sur analyse Anciens: « toujours astreinte à la considération des gures » MS critique sur algèbre des Modernes: « art confus et obscur qui embarrasse l’esprit » —> DONC: les réformer + donner utilité véritable —> perspective d’une physique + métaphysique Règles pour la direction de l’esprit: Constitution d’une mathesis universalis —> règle XIV: a rmation: « toute connaissance qui ne s’obtient pas par l’intuition pure.... »