Titre : En quoi, les mathématiques peuvent-elles nous aider à maitriser un feu de foret ?

« Titre : En quoi, les mathématiques peuvent-elles nous aider à maitriser un feu de foret ? I.

Introduction : L'enjeu des feux de forêt et le rôle des mathématiques (1 minute) • L'enjeu concret : Un feu de forêt, c'est un phénomène dévastateur.

Pour les pompiers et les décideurs, la question cruciale est : le feu restera-t-il localisé ou se propagera-t-il à très grande échelle, dévastant toute la forêt ?.

C'est une question d'une importance capitale. • Les mathématiques à la rescousse : Étonnamment, les mathématiques peuvent nous aider à comprendre ces mécanismes de propagation.

Nous allons explorer un outil puissant appelé le modèle de percolation.

Son nom vient du latin "percolare", qui signifie "passer au travers", comme l'eau qui s'infiltre à travers le café moulu dans une machine à café. II.

Le Modèle de Percolation : Simplifier le réel pour le comprendre (3 minutes) • La nécessité de simplifier : Les forêts réelles sont complexes.

Pour pouvoir les étudier mathématiquement, on doit faire des simplifications drastiques.

C'est l'essence de la modélisation mathématique. • La forêt idéalisée : • On imagine les arbres non pas de manière réaliste, mais alignés sur une grille régulière infinie, comme un quadrillage carré en deux dimensions.

(On admet que c'est une simplification forte, mais elle permet d'initier l'étude mathématique). • Le feu ne se propage que de proche en proche, entre un arbre et ses quatre voisins immédiats (nord, sud, est, ouest). • Le rôle du hasard et du paramètre 'p' : • La propagation n'est pas garantie à chaque fois.

Pour chaque lien entre deux arbres voisins, on va attribuer une probabilité p pour que le feu se transmette (le lien est alors dit "ouvert") ou une probabilité 1-p pour qu'il soit bloqué (le lien est "fermé"). • Ce paramètre p représente le risque de propagation : un p élevé (proche de 1) correspond à des conditions très favorables au feu (ex: grande sécheresse), un p faible (proche de 0) à des conditions défavorables (ex: forte pluie). • On obtient ainsi un graphe aléatoire, où les connexions entre les arbres sont déterminées par le hasard. • Les "composantes connexes" (ou "amas") : Ce sont les zones d'arbres reliés par des liens ouverts où le feu peut se propager.

Si un arbre prend feu dans un amas, tout cet amas brûlera. • La question mathématique clé : La grande question est de savoir si, dans ce graphe aléatoire, le feu peut créer une "composante connexe infinie" (se propager à l'échelle de toute la forêt) ou s'il restera toujours confiné à des composantes "finies" (des petites zones). III.

La Magie de la Transition de Phase (4 minutes) • Des simulations révélatrices : En faisant varier le paramètre p dans des simulations numériques (comme celles réalisées par Raphaël Cerf ou Olivier Garet), on observe un phénomène étonnant. Pour de faibles valeurs de p, on voit de nombreux petits amas (petits feux contenus).

Pour des valeurs élevées de p, un gigantesque amas domine toute l'image (le feu se répand partout).

Le plus surprenant est que le passage d'un comportement à l'autre est brutal, même pour de très faibles variations de p (par exemple, entre 0.49 et 0.51). • La "transition de phase" : Ce changement radical de comportement est appelé une transition de phase.

C'est un concept issu de la physique.

Imaginez l'eau qui, à 0°C, passe.... »