covid 19

« Lorsque le COVID-19 s’est propagé dans le monde entier, une question est revenue sans cesse dans les médias et chez les chercheurs :​ combien de temps cela va-t-il durer ? Quand atteindra-t-on le pic ? Et que faut-il faire pour ralentir l’épidémie ? Derrière ces questions sanitaires se cachent en réalité des raisonnements scientifiques, et notamment mathématiques.​ Car pour prendre des décisions, il faut comprendre comment une maladie se propage, à quelle vitesse, et selon quels mécanismes. C’est là qu’intervient un modèle mathématique très utilisé : le modèle SIR, qui permet de simuler l’évolution d’une épidémie au fil du temps. Ce modèle m’a particulièrement intéressé, car il relie des outils mathématiques simples à des enjeux réels, concrets, et parfois vitaux. Je vais donc m’interroger sur la question suivante :​ Comment le modèle SIR permet-il de modéliser une épidémie, et que peut-il vraiment nous apprendre ? Pour y répondre, je vais d’abord expliquer comment le modèle est construit, puis je montrerai comment il permet d’anticiper le comportement d’une épidémie, à travers des exemples concrets.

Enfin, je prendrai du recul sur ses limites et ses prolongements. Dans cette première partie, nous allons commencer par le modèle.​ On divise donc la population en trois groupes : ●​ S(t) : les individus sains,​ ●​ I(t) : les infectés,​ ●​ R(t) : les retirés ou remis, c’est-à-dire guéris ou décédés.​ La population totale étant constante, ce qui donne : S(t)+I(t)+R(t)=1 Le cœur du modèle repose sur les proportions et les taux de variation.​ Pour modéliser les contaminations, on suppose que les individus se déplacent librement et que les contacts entre personnes ont lieu de manière aléatoire.​ À chaque instant, ce sont donc les rencontres entre personnes saines et personnes infectées qui provoquent de nouvelles contaminations. On peut alors raisonner comme suit : ●​ La proportion de personnes saines dans la population est S(t)​ ●​ La proportion de personnes infectées est I(t)​ Si on choisit au hasard deux individus dans la population, la probabilité que l’un soit sain et l’autre infecté est alors proportionnelle à S(t)⋅I(t) Le terme S(t)⋅I(t) ne vient pas de nulle part : il modélise le nombre de rencontres risquées chaque jour entre personnes saines et infectées. On suppose que : ●​ Chaque personne infectée croise plusieurs personnes par jour,​ ●​ Une fraction de ces rencontres concerne des personnes saines.​ Le produit S⋅I est alors une approximation du nombre de contacts potentiellement infectieux : ●​ Si la population est homogène et les contacts sont aléatoires, ce nombre est proportionnel au produit des deux groupes concernés.​ Autrement dit : ●​ Si l’un des deux groupes est petit, le produit est petit → la contamination ralentit.​ ●​ Si les deux groupes sont grands, le produit est grand → la contamination explose.​ Ce mécanisme est ce qui fait que l’épidémie.... »