Chapitre 1 cours modèle définis par une fonction math

« Tale − Maths Complémentaires 01 − MODÈLES DÉFINIS PAR UNE FONCTION Terminale -Maths Complémentaires − Thème 01 MODÈLES DÉFINIS PAR UNE FONCTION y Cf f (α) 1 α 0 x 1 Table des matières I II Dérivation et application 1) Fonctions dérivées .

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. 2) Applications à l’étude de fonctions .

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. 2 2 3 Continuité 1) Continuité sur un intervalle .

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. 2) Propriétés des fonctions dérivables .

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. 3) Théorème des valeurs intermédiaires .

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. 4) Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 6 7 IIIConvexité 1) 2) 3) 4) Fonctions convexes, fonctions concaves Point d’inflexion .

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. Convexité et dérivées f ′ et f ′′ .

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. Point d’inflexion et dérivée seconde .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Page 1 sur 7 Tale − Maths Complémentaires 01 − MODÈLES DÉFINIS PAR UNE FONCTION I Dérivation et application 1) Fonctions dérivées a Tableau des dérivées usuelles f (x) f ′ (x) Df Df ′ Conditions k 0 R R k∈R ax + b a R R a,b réels x2 2x R R x3 3x2 R R xn nxn−1 R R n∈N xn nxn−1 R∗ R∗ n ∈ Z/N 1 x − x12 R∗ R∗ √ 1 √ 2 x [0; +∞[ ]0; +∞[ R R∗ R R x ∣x∣ ex b ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 1 si x > 0 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −1 si x < 0 ex Tableau récapitulatif des opérations sur les dérivées f f′ u+v u′ + v ′ ku ku′ u−v u′ − v ′ uv u′ v + uv ′ 1 u − uu2 u≠0 u v u′ v−uv ′ v≠0 eu c Conditions ′ v2 k réel u′ × eu Autres propriétés de dérivation PROPRIÉTÉ Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction u2 définie sur I par x ↦ u(x)2 est dérivable sur I, et pour tout réel x de I, on a : (u2 )′ (x) = 2 × u′ (x) × u(x) DÉMONSTRATION La démonstration est immédiate à partir de la dérivée d’un produit de deux fonctions. Page 2 sur 7 Tale − Maths Complémentaires 01 − MODÈLES DÉFINIS PAR UNE FONCTION REMARQUE On peut généraliser le résultat précédent pour n’importe quelle puissance entière et positive de u : Soit n un entier naturel et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction un est dérivable sur I et (un )′ = n × u′ × u. EXEMPLE Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur.... »