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Fiche de cours en philo : LOGIQUE ET MATHEMATIQUE .

Publié le 02/08/2009

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SUJETS DE BACCALAURÉAT  — Quels rôles jouent l'intuition et le raisonnement formel en mathématique? — La mathématique est-elle réductible à la logique? — Peut-,on affirmer avec un philosophe «Il n'y a de science proprement dite qu'autant qu'il s'y trouve de mathématique« — Les mathématiques sont-elles un instrument, un langage ou un modèle pour les autres sciences? — Aristote disait des mathématiques que leur noblesse est de ne servir à rien ! Qu'en pensez-vous? — Les progrès de la connaissance scientifique sont-ils toujours dus à la pensée logique? — Faut-il tout démontrer? — Les mathématiques sont-elles seulement un jeu de l'esprit? — La logique nous apprend-elle quelque chose? — À quelles conditions peut-on donner un sens rigoureux à l'expression courante : c'est logique ?
  • La logique et la mathématique représentent toutes deux des sciences formelles, n'ayant pas de rapport véritable à un objet empirique particulier. C'est dans cette perspective qu'il faut essentiellement les étudier ici (encore que la logique soit plus formelle que la mathématique, où subsiste de l'intuition). • La mathématique, définie classiquement comme le nom générique des sciences qui ont pour objet l'ordre et la mesure, apparaît généralement comme une discipline exemplaire et un modèle de rigueur. Comment comprendre cette exemplarité? Plusieurs types d'explications sont possibles, en particulier : a - la réponse cartésienne par l'intuition et les «natures simples« (§3et4); b - la voie de la formalisation : la rigueur mathématique doit alors être comprise à partir de pures règles formelles de cohérence interne (§ 5 et 6). • Un des problèmes essentiels soulevés dans cette fiche est celui des rapports de la logique formelle et de la mathématique. Est-il possible de réduire cette dernière à la théorie logique? Sur cette question, lisez les paragraphes 2, 6 et 7. • N'oubliez pas que la mathématique est le langage de toutes les sciences et l'outil essentiel de leur prodigieux succès (§ 8).

« Ajoutons que, dans la perspective de Descartes, la mathématique et la logique sont hétérogènes.

La première estliée à une intuition intellectuelle féconde.

La seconde représente un formalisme stérile. V — Évolution de la pensée mathématique : de la démonstration des propositions isolées au systèmestructuré et formalisé La pensée mathématique ne va cesser, à partir de Descartes, d'évoluer, par abstraction croissante, en s'écartantdes intuitions originel-les, encore proche des réalités physiques.L'apparition, au xixe siècle, des géométries non-euclidiennes (Lobatchevski et Riemann) qui constituent dessystèmes hypothético-déductifs construits sur des hypothèses niant le célèbre postulat d'Euclide sur les parallèles,si proche de l'intuition sensible, constitue une étape marquante de cette évolution. Celle-ci sera couronnée, vers la fin du xixe siècle, par l'axiomatique, construction d'une théorie mathématiquetotalement formalisée, élaborée à partir d'un ensemble cohérent d'axiomes indépendants et non contradictoires,dépourvus de tout aspect concret et intuitif : dans l'axiomatique, les relations entre les êtres mathématiquesimportent davantage que leur vérité matérielle.

Citons, par exemple, l'axiomatique du mathématicien allemand Hilbert(1899). Ainsi, les mathématiques se sont progressivement formalisées, elles se sont peu à peu dégagées des significationsconcrètes et intuitives.

L'axiomatique a donc introduit dans la mathématique un niveau d'abstraction tout à faitremarquable. «A la réflexion, les avantages de la méthode axiomatique sont manifestes.

Elle est d'abord un précieux instrumentd'abstraction et d'analyse.

Le passage d'une théorie concrète à la même théorie axiomatisée puis formalisée,renouvelle, en le prolongeant, le travail d'abstraction qui conduit, par exemple, du nombre concret, tas de pommeset de cailloux, au nombre arithmétique, puis de l'arithmétique à l'algèbre...

enfin de l'algèbre classique à l'algèbremoderne.

» (R.

Blanché, L'axiomatique, PUF, 1955)La mathématique apparaît, dès lors, sûre et rigoureuse dans la mesure où elle est hautement formalisée. VI — Logique et mathématique : le logicisme Parvenues à ce degré d'abstraction, les mathématiques semblent se réduire, au jugement de certains, à un systèmelogique purement formel.

C'est ce que pensent les logiciens formalistes avec, par exemple, Russell.

Lesmathématiques se ramèneraient alors à une logique symbolique.

à un système formel sans contenu propre.

Dès lors,il serait possible de passer de façon continue de la logique à la mathématique.

Cette réduction est-elle possible? Onsait aujourd'hui que non : il a été démontré par Gödel qu'il était impossible de démontrer la non-contradiction d'unsystème mathématique. VII — Limites de la méthode axiomatique en mathématique Une formalisation chassant toute intuition représente une impossibilité radicale : les significations intuitives nepeuvent jamais être totalement éliminées du champ de conscience du mathématicien.La mathématique, pensée effective, renvoie donc à une intuition concrète et ne peut en aucun cas être réduite àun pur formalisme logique, comme le voudraient certains logisticiens.« Ce n'est que dans les livres qu'une axiomatique commence avec les axiomes : dans l'esprit de l'axiomaticien, elle yaboutit.

Elle présuppose la déduction matérielle qu'elle met en forme.» (R.

Blanché, op.

cit.)« La mathématique est plus que la logique, en tant qu'elle est pensée effective, et que toute pensée effectivesuppose application de la pensée abstraite à une intuition.» (J.

Cavaillès, Méthode axiomatique et formalisme,Hermann, 1981)Le problème reste cependant posé de savoir quel est le statut de cette «intuition» qui accompagne la penséemathématique : est-elle le noyau supposé concret sur lequel s'appuie le mathématicien, ou est-elle seulement unesorte d'aide psychologique? Il y a en effet, dans l'invention mathématique, une dimension poétique qui s'exprime parla création d'univers mathématiques où le physicien vient seulement choisir quelques modèles qui lui seront utiles. VIII — La mathématisation des sciences La représentation des choses et des phénomènes physiques par un discours mathématique abstrait, structuré etformalisé a fait de la mathématique l'outil puissant et privilégié du prodigieux essor des sciences de la nature.

Lamathématique est devenue ainsi le langage de toutes les sciences.

Car non seulement elle a permis d'introduiremesure et rigueur dans l'explication de phénomènes physiques, mais elle a surtout donné aux savants le moyen deprédire et créer de nouvelles lois.Nous rejoignons par là la théorie platonicienne des Idées selon laquelle la réalité concrète n'est que le reflet d'uneréalité véritable parfaitement transcendante. Conclusion — La notion de vérité mathématique a beaucoup évolué.

Elle s'est déplacée pour l'essentiel du contenu vers laforme.. »

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