Fiche de cours en philo : LOGIQUE ET MATHEMATIQUE .
Publié le 02/08/2009
Extrait du document
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Ajoutons que, dans la perspective de Descartes, la mathématique et la logique sont hétérogènes.
La première estliée à une intuition intellectuelle féconde.
La seconde représente un formalisme stérile.
V — Évolution de la pensée mathématique : de la démonstration des propositions isolées au systèmestructuré et formalisé
La pensée mathématique ne va cesser, à partir de Descartes, d'évoluer, par abstraction croissante, en s'écartantdes intuitions originel-les, encore proche des réalités physiques.L'apparition, au xixe siècle, des géométries non-euclidiennes (Lobatchevski et Riemann) qui constituent dessystèmes hypothético-déductifs construits sur des hypothèses niant le célèbre postulat d'Euclide sur les parallèles,si proche de l'intuition sensible, constitue une étape marquante de cette évolution.
Celle-ci sera couronnée, vers la fin du xixe siècle, par l'axiomatique, construction d'une théorie mathématiquetotalement formalisée, élaborée à partir d'un ensemble cohérent d'axiomes indépendants et non contradictoires,dépourvus de tout aspect concret et intuitif : dans l'axiomatique, les relations entre les êtres mathématiquesimportent davantage que leur vérité matérielle.
Citons, par exemple, l'axiomatique du mathématicien allemand Hilbert(1899).
Ainsi, les mathématiques se sont progressivement formalisées, elles se sont peu à peu dégagées des significationsconcrètes et intuitives.
L'axiomatique a donc introduit dans la mathématique un niveau d'abstraction tout à faitremarquable.
«A la réflexion, les avantages de la méthode axiomatique sont manifestes.
Elle est d'abord un précieux instrumentd'abstraction et d'analyse.
Le passage d'une théorie concrète à la même théorie axiomatisée puis formalisée,renouvelle, en le prolongeant, le travail d'abstraction qui conduit, par exemple, du nombre concret, tas de pommeset de cailloux, au nombre arithmétique, puis de l'arithmétique à l'algèbre...
enfin de l'algèbre classique à l'algèbremoderne.
» (R.
Blanché, L'axiomatique, PUF, 1955)La mathématique apparaît, dès lors, sûre et rigoureuse dans la mesure où elle est hautement formalisée.
VI — Logique et mathématique : le logicisme
Parvenues à ce degré d'abstraction, les mathématiques semblent se réduire, au jugement de certains, à un systèmelogique purement formel.
C'est ce que pensent les logiciens formalistes avec, par exemple, Russell.
Lesmathématiques se ramèneraient alors à une logique symbolique.
à un système formel sans contenu propre.
Dès lors,il serait possible de passer de façon continue de la logique à la mathématique.
Cette réduction est-elle possible? Onsait aujourd'hui que non : il a été démontré par Gödel qu'il était impossible de démontrer la non-contradiction d'unsystème mathématique.
VII — Limites de la méthode axiomatique en mathématique
Une formalisation chassant toute intuition représente une impossibilité radicale : les significations intuitives nepeuvent jamais être totalement éliminées du champ de conscience du mathématicien.La mathématique, pensée effective, renvoie donc à une intuition concrète et ne peut en aucun cas être réduite àun pur formalisme logique, comme le voudraient certains logisticiens.« Ce n'est que dans les livres qu'une axiomatique commence avec les axiomes : dans l'esprit de l'axiomaticien, elle yaboutit.
Elle présuppose la déduction matérielle qu'elle met en forme.» (R.
Blanché, op.
cit.)« La mathématique est plus que la logique, en tant qu'elle est pensée effective, et que toute pensée effectivesuppose application de la pensée abstraite à une intuition.» (J.
Cavaillès, Méthode axiomatique et formalisme,Hermann, 1981)Le problème reste cependant posé de savoir quel est le statut de cette «intuition» qui accompagne la penséemathématique : est-elle le noyau supposé concret sur lequel s'appuie le mathématicien, ou est-elle seulement unesorte d'aide psychologique? Il y a en effet, dans l'invention mathématique, une dimension poétique qui s'exprime parla création d'univers mathématiques où le physicien vient seulement choisir quelques modèles qui lui seront utiles.
VIII — La mathématisation des sciences
La représentation des choses et des phénomènes physiques par un discours mathématique abstrait, structuré etformalisé a fait de la mathématique l'outil puissant et privilégié du prodigieux essor des sciences de la nature.
Lamathématique est devenue ainsi le langage de toutes les sciences.
Car non seulement elle a permis d'introduiremesure et rigueur dans l'explication de phénomènes physiques, mais elle a surtout donné aux savants le moyen deprédire et créer de nouvelles lois.Nous rejoignons par là la théorie platonicienne des Idées selon laquelle la réalité concrète n'est que le reflet d'uneréalité véritable parfaitement transcendante.
Conclusion
— La notion de vérité mathématique a beaucoup évolué.
Elle s'est déplacée pour l'essentiel du contenu vers laforme..
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