TD de math

« TD 7 : NOMBRES COMPLEXES ▶ Forme algébrique, forme exponentielle EXERCICE 7.1 Identité du parallélogramme F Montrer que pour tous (𝑧, 𝑧 ′ ) ∈ C2 , |𝑧 + 𝑧 ′ | 2 + |𝑧 − 𝑧 ′ | 2 = 2(|𝑧| 2 + |𝑧 ′ | 2 ).

Interpréter géométriquement. √ 3+𝑖 .

Donner la forme exponentielle, puis la forme algébrique de 𝑧 2019 . EXERCICE 7.2 Soit 𝑧 = 1−𝑖 √︁ √︁ √ √ EXERCICE 7.3 Déterminer le module et un argument de 𝑧 = 2 + 2 + 𝑖 2 − 2. PD EXERCICE 7.4 Pour 𝜃 ∈ ]−𝜋, 𝜋], déterminer le module et un argument de 1 + 𝑒 𝑖𝜃 , 1 − 𝑒 𝑖𝜃 , AD EXERCICE 7.5 Déterminer tous les complexes 𝑧 tels que |𝑧| = 1 = |𝑧 + 1|. 𝑧 −1 , 1 + 𝑖𝜃 . 𝑒 𝑖𝜃 + 1 𝑒 𝑖𝜃 PD PD EXERCICE 7.6 Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 trois nombres complexes de module 1.

Montrer que |𝑎 + 𝑏 + 𝑐 | = |𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 |. EXERCICE 7.7 Résoudre l’équation 𝑒 𝑧 + 𝑒 −𝑧 = 1, d’inconnue 𝑧 ∈ C. 2 EXERCICE 7.8 Soit 𝑧 ∈ C \ R− , de forme algébrique 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, (𝑎, 𝑏)  ∈R . AD PD AD 𝑏 Montrer que l’argument principal de 𝑧 est 𝜃 = 2 Arctan √ 𝑎 + 𝑎2 + 𝑏 2 EXERCICE 7.9 Soit 𝑧 ∈ C tel que |𝑧| ⩽ 1. PD 1.

Montrer que |𝑧 3 + 2𝑖𝑧| ⩽ 3. 2.

Quels sont les 𝑧 pour lesquels cette inégalité est en fait une égalité ? EXERCICE 7.10 Soit 𝑛 ∈ N∗ . Calculer 𝑆 1 = 𝑛 ⌊∑︁ 2⌋ 𝑘=0 𝑛−1    ⌊∑︁ 2 ⌋ 𝑛 𝑛 (−1) (−1)𝑘 et 𝑆 2 = . 2𝑘 2𝑘 + 1 𝑘  AD 𝑘=0 Indication : calculer (1 + 𝑖)𝑛 de deux manières différentes.   1 , 𝑧 ∈ U \ {1} . EXERCICE 7.11 Déterminer 1−𝑧 AD ▶ Applications à la trigonométrie PD EXERCICE 7.12 Linéarisation 1.

Linéariser sin5 (𝑥).

En déduire la valeur de 2.

Linéariser cos2 (2𝑥) sin3 (3𝑥). EXERCICE 7.13 Soit 𝜃 ∈ R \ 2𝜋Z et soit 𝑛 ∈ ∫ 0 N∗ . 𝜋 sin5 (𝑥) 𝑑𝑥. Calculer 𝐶𝑛 = EXERCICE 7.14 Pour 𝜃 ∈ R et 𝑛 ∈ N∗ , calculer 𝐶𝑛 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑛   ∑︁ 𝑛 𝑘=0 𝑘 cos(𝑘𝜃 ) et 𝑆𝑛 = cos(𝑘𝜃 ) et 𝑆𝑛 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑛   ∑︁ 𝑛 𝑘=0 𝑘 sin(𝑘𝜃 ). sin(𝑘𝜃 ). 1.

Prouver qu’il existe des entiers 𝑎 0, 𝑎 1, .

.

.

, 𝑎𝑛 tels que pour tout 𝜃 ∈ R, cos(𝑛𝜃 ) = AD D EXERCICE 7.15 Polynômes de Tchebychev Soit 𝑛 ∈ N∗ . PD 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 𝑎𝑘 cos𝑘 (𝜃 ). 2.

Montrer que 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 . Ø 3 − 4𝑖 3.

Soit 𝑤 = .

Vérifier que 𝑤 ∈ U, mais que 𝑤 ∉ U𝑛 , c’est-à-dire que 𝑤 n’est pas une racine de l’unité. 5 𝑛∈N∗ EXERCICE 7.16 Irrationalité de 𝜋1 Arccos 13 (Oral ENS) Arccos 31 Notons 𝛼 = .

Le but de cet exercice est de prouver que 𝛼 est irrationnel, c’est-à-dire que 𝛼 ∉ Q. 𝜋 1.

Donner la forme algébrique de 𝑒 𝑖𝜋𝛼 . √ 2.

Montrer que 𝛼 ∈ Q si et seulement si il existe 𝑛 ∈ N∗ tel que (1 + 2𝑖 2)𝑛 = 3𝑛 . √ √ 3.

Montrer que pour tout 𝑛 ∈ N, il existe des entiers 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 tels que (1 + 2𝑖 2)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑖𝑏𝑛 2, et tels que 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ne soit pas divisible par 3.

Conclure. MP2I LYCÉE CHAMPOLLION 2022-2023 TD ▶ Racines 𝑛 èmes EXERCICE 7.17 Déterminer les racines cinquièmes de 𝑗 et de √ 2 2 . 𝑖 −1 F EXERCICE 7.18 Soit 𝑛 ∈ N∗ et 𝑎 ∈ R.

Résoudre l’équation (1 + 𝑧)𝑛 = cos(2𝑛𝑎) + 𝑖 sin(2𝑛𝑎). EXERCICE 7.19 Soit 𝑛 ∈ N∗ .

Calculer Ö PD 𝜔. PD 𝜔 ∈U𝑛 EXERCICE 7.20 Soit 𝑛 ∈ N∗ .

Montrer que l’équation (𝑧 + 𝑖)𝑛 = (𝑧 − 𝑖)𝑛 , d’inconnue 𝑧 ∈ C possède exactement 𝑛 − 1 AD EXERCICE 7.21 AD solutions, qui sont toutes réelles. 1.

Résoudre l’équation 𝑍 3 + 𝑍 2 + 𝑍 + 1 = 0, 𝑍 ∈ C. 3  2    𝑧 +𝑖 𝑧 +𝑖 𝑧 +𝑖 + 1 = 0. + + 2.

En déduire les solutions de 𝑧 −𝑖 𝑧 −𝑖 𝑧 −𝑖 AD EXERCICE 7.22 Banque CCP 89𝜋 Soit 𝑛 ∈ N, avec 𝑛 ⩾ 2 et soit 𝜁 = 𝑒 2𝑖 𝑛 . 1.

On suppose que 𝑘 ∈ ⟦1, 𝑛 − 1⟧.

Déterminer le module et un argument du complexe 𝜁 𝑘 − 1. 2.

On pose 𝑆 = 𝑛−1 ∑︁ 𝑘=1 𝜁 𝑘 − 1 .

Montrer que 𝑆 = 2 𝜋 . tan 2𝑛 ▶ Équations dans C EXERCICE 7.23 Résoudre les équations suivantes, d’inconnue 𝑧 ∈ C : 1.

𝑧 2 + (5 − 2𝑖)𝑧 + 5 − 5𝑖 = 0 2.

𝑧 2 + (1 − 2𝑖)𝑧 − 2𝑖 = 0 F 3.

𝑧 4 − 𝑧 2 + (1 − 𝑖) = 0 PD EXERCICE 7.24 ( 𝑥 +𝑦 = 4 1.

Résoudre les systèmes 𝑥𝑦 = 5 ( et 𝑥 + 𝑦 = 3 − 2𝑖 𝑥𝑦 = 5 − 𝑖 , d’inconnues (𝑥, 𝑦) ∈ C2 . 2.

Pour quelles valeurs de 𝜆 > 0 existe-t-il des rectangles pour lesquels l’aire 𝑎 et le périmètre 𝑝 sont reliés par la √ relation 𝑝 = 𝜆 𝑎 ? EXERCICE 7.25 Résoudre les équations suivantes, d’inconnue 𝑧 ∈ C : 1.

𝑧 2 = 𝑧 2.

𝑧 2 = −𝑧 2 PD 3.

𝑧 2 = 2𝑧 4.

𝑧 2 = 1 𝑧2 EXERCICE 7.26 Résoudre l’équation 𝑧 2 + 2|𝑧| − 3 = 0, d’inconnue 𝑧 ∈ C. AD ▶ Application des complexes à la géométrie EXERCICE 7.27 Caractériser géométriquement l’ensemble des complexes 𝑧 de C \ {𝑖} tels que 𝑧+2 ∈ R. 1 + 𝑖𝑧 EXERCICE 7.28 Soient 𝑀0, 𝑀1, .

.

.

, 𝑀𝑛−1 les sommets d’un polygone convexe régulier direct à 𝑛 côtés, et pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛 − 1⟧, soit 𝑧𝑘 l’affixe de 𝑀𝑘 .

Donner l’expression des 𝑧𝑘 en fonction de 𝑧 0 et 𝑧 1 . EXERCICE 7.29 Que peut-on dire de la composée de deux rotations ? De la composée de deux homothéties ? PD F PD EXERCICE 7.30 Similitudes directes  √  √ 1.

Caractériser géométriquement la similitude associée à 𝑧 ↦→ 1 + 𝑖 3 𝑧 − 𝑖 3. 2.

Soit 𝑡 la translation de vecteur 𝑢® (−1, 0) et soit 𝑟 la rotation de centre 𝑂 et d’angle Caractériser géométriquement 𝑡 ◦ 𝑟 ◦ 𝑡 et 𝑟 ◦ 𝑡 ◦ 𝑟 . 𝜋 . 2 3.

Montrer qu’une similitude directe 𝑓 réalise une bijection de C sur C, c’est-à-dire que tout complexe possède un unique antécédent par 𝑓 .

Prouver que 𝑓 −1 est encore une similitude directe, et déterminer sa nature et ses éléments caractéristiques en fonction de ceux de 𝑓 . MP2I PD LYCÉE CHAMPOLLION 2022-2023 EXERCICE 7.31 Soit 𝑧 ∈ C.

À quelle condition nécessaire et suffisante sur 𝑧 : 1.

les points d’affixes 1, 𝑧 et 2.

les points d’affixes 𝑧, 𝑧 2 𝑧2 et AD sont-il alignés ? 𝑧3 sont-ils les sommets d’un triangle rectangle en le point d’affixe 𝑧 2 ? 2𝜋 EXERCICE 7.32 Soient 𝐴, 𝐵, 𝐶 trois points d’affixes respectives 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

On note 𝑗 = 𝑒 𝑖 3 . 1.

Calculer 𝑗2 et en déduire une expression de 𝑒 D en fonction de 𝑗. −→ −→ 𝜋 2.

Montrer que 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral direct (c’est-à-dire avec 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 = si et seulement 𝑎 + 𝑏 𝑗 + 𝑐 𝑗 2 = 0. 3 3.

Montrer que 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral si et seulement si 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐. 𝑖 𝜋3 EXERCICE 7.33 Soit 𝑎 ∈ U, soit 𝑛 ∈ N∗ et soient 𝑧0, 𝑧1, .

.

.

, 𝑧𝑛−1 les 𝑛 racines 𝑛èmes de 𝑎. D Montrer que les points d’affixes (1 + 𝑧𝑘 )𝑛 , 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1 sont alignés. MP2I LYCÉE CHAMPOLLION 2022-2023 CORRECTION 1 CORRECTION DES EXERCICES DU TD 7 SOLUTION DE L’EXERCICE 7.1 Soient 𝑧, 𝑧 ′ deux complexes.

Alors     |𝑧 + 𝑧 ′ | 2 + |𝑧 − 𝑧 ′ | 2 = (𝑧 + 𝑧 ′ ) 𝑧 + 𝑧 ′ + (𝑧 − 𝑧 ′ ) 𝑧 − 𝑧 ′ = |𝑧| 2 + |𝑧 ′ | 2 + 𝑧𝑧 ′ + 𝑧𝑧 ′ + |𝑧| 2 + |𝑧 ′ | 2 − 𝑧𝑧 ′ − 𝑧𝑧 ′   = 2 |𝑧| 2 + |𝑧 ′ | 2 . Cette formule traduit le fait que dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs de deux côtés consécutifs est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales. • 𝑧′ • 𝑧 + 𝑧′ 𝑧 + 𝑧′ 𝑧 − 𝑧′ • 𝑧 • Méthode SOLUTION DE L’EXERCICE 7.2 ! √ 3 1 𝜋 + 𝑖 = 2𝑒 𝑖 6 . 2 2 √ √ ! √ √ √ 2 2 𝜋 De même, on a |1 − 𝑖 | = 2 et donc 1 − 𝑖 = 2 −𝑖 = 2𝑒 −𝑖 4 . 2 2 √ √ √ On a | 3 + 𝑖 | = 3 + 1 = 2.

Et donc 3 + 𝑖 = 2 On en déduit que Pour travailler avec un quotient, mieux vaut travailler dès le départ avec les formes exponentielles du numérateur et du dénominateur plutôt que d’essayer d’obtenir la forme algébrique du quotient. En effet, la forme exponentielle est bien plus adaptée à la manipulation de quotients que la forme algébrique. √ 𝑖 𝜋 +𝑖 𝜋 √ 𝑖 5𝜋 2𝑒 𝑖 6 𝑧=√ 2𝑒 6 4 = 2𝑒 12 . 𝜋 = 2𝑒 −𝑖 4 𝜋 Et par conséquent, √  2019 5×2019 √  2019 10095𝜋 √  2019 3365𝜋 √  2019 5𝜋 √  2019 5𝜋 𝑧 2019 = 2 𝑒 𝑖 12 = 2 𝑒 𝑖 12 = 2 𝑒𝑖 4 = 2 𝑒 𝑖 ( 4 +840×2𝜋 ) = 2 𝑒𝑖 4 . Soit encore 𝑧 2019 √ √ !  √  2019  √ 1009 5𝜋 5𝜋 2 2 = 2 cos + 𝑖 sin = 22 − −𝑖 = −21009 (1 + 𝑖). 4 4 2 2 SOLUTION DE√L’EXERCICE 7.3 √ On a |𝑧| 2 = 2 + 2 + 2 − 2 = 4, donc |𝑧| = 2.   Notons 𝜃 l’argument principal de 𝑧, qui est donc dans 0, 𝜋2 , puisque Im(𝑧) et Re(𝑧) sont positifs. √︁ √ 2+ 2 On a alors cos(𝜃 ) = , et donc 2 √ √ 2+ 2 2 2 cos(2𝜃 ) = 2 cos 𝜃 − 1 = −1= . 2 2 Et donc 2𝜃 = 𝜋4 , si bien que 𝜃 = 𝜋8 . MP2I LYCÉE CHAMPOLLION 2022-2023 Remarque Notons au passage qu’on en déduit facilement les valeurs de sin 𝜋8 et cos 𝜋8 . M.

VIENNEY 2 TD 7 Signe SOLUTION DE L’EXERCICE 7.4 On a     𝜃 𝑖𝜃 /2 1 + 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 0 + 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃 /2 𝑒 −𝑖𝜃 /2 + 𝑒 𝑖𝜃 /2 = 2 cos 𝑒 . 2 𝜃 i 𝜋 𝜋i 𝜃 Puisque ∈ − , , son cosinus est positif, et donc 2 cos = 1 + 𝑒 𝑖𝜃 . 2 2 2 2 Autrement dit, nous avons déjà sous les yeux la forme exponentielle de 1 + 𝑒 𝑖𝜃 , de sorte 𝜃 qu’un argument en est . 2 Sur le même principe, on a Notons qu’un tel raisonnement ne serait plus valable pour 𝜃 ∈ [𝜋, 2𝜋 ], puisque le module serait alors −2 cos 𝜃2 (un module est toujours positif ). 𝑒 𝑖𝜃 •   𝜃 1 − 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃 /2 𝑒 −𝑖𝜃 /2 − 𝑒 𝑖𝜃 /2 = −2𝑖 sin 𝑒 𝑖𝜃 /2 . 2 • 1 + 𝑒 𝑖𝜃 • 1 En notant que −𝑖 = 𝑒 −𝑖 2 , on a donc 𝜋 𝜃 𝜃 −𝜋 1 − 𝑒 𝑖𝜃 = 2 sin 𝑒 𝑖 2 . 2 𝜃 𝜃 𝜃 −𝜋 ⩾ 0, et donc |1 − 𝑒 𝑖𝜃 | = 2 sin et un argument en est . 2 2 2 𝜃 En revanche, pour 𝜃 ∈] − 𝜋, 0[, alors sin < 0, et donc 2 Si 𝜃 ∈ [0, 𝜋], alors sin 𝜃 𝜃 −𝜋 𝜃 𝜃 +𝜋 1 − 𝑒 𝑖𝜃 = −2 sin 𝑒 𝑖 2 𝑒 𝑖𝜋 = −2 sin 𝑒 𝑖 2 . 2 2 | {z } ∈R+ Et donc |1 − 𝑒 𝑖𝜃 | = −2 sin 𝜃 +𝜋 𝜃 et un argument en est . 2 2 Pour le quotient, le principe est le même, et on peut même utiliser les calculs déjà effectués. Notons tout de même que ce quotient n’est défini que pour 𝜃 ≠ 𝜋.

Dans ce cas il vient 𝜃 𝑒 𝑖𝜃 − 1 2𝑖 sin 2 𝜃 = = 𝑖 tan . 𝑖𝜃 𝜃 2 1+𝑒 2 cos 2 Si 𝜃 ∈]0, 𝜋 [, alors tan un argument de 𝜋). 𝜃 𝑒 𝑖𝜃 − 1 𝜃 𝜋 ⩾ 0, et donc 𝑖𝜃 = tan et un argument en est (car c’est 2 2 2 𝑒 +1 𝜃 𝑒 𝑖𝜃 − 1 𝜃 Et si jamais 𝜃 ∈] − 𝜋, 0[, alors tan < 0, de sorte que 𝑖𝜃 = − tan et un argument 2 2 𝑒 +1 𝜋 en est − (qui est un argument de −𝑖). 2 √ Enfin, le module de 1 + 𝑖𝜃 est 1 + 𝜃 2 . i 𝜋 𝜋h Puisque 1 + 𝑖𝜃 a une partie réelle positive, son argument principal 𝛼, est dans − , . 2 2 𝜃 1 Et donc tan 𝛼 = = 𝜃 .

On en déduit que 𝛼 = Arctan 𝜃 . 1 SOLUTION DE L’EXERCICE 7.5 1 1 1 Puisque , on a |𝑧| = = si et seulement si |𝑧| = 1. 𝑧 |𝑧| 𝑧 Et pour 𝑧 ∈ U, on a alors 1 |𝑧 + 1| = 1 ⇔ (𝑧 + 1) (𝑧 + 1) = 1 ⇔ |𝑧| 2 +𝑧 + 𝑧 + 1 = 1 ⇔ 2 Re(𝑧) = −1 ⇔ Re(𝑧) = − . 2 |{z} =1 √ √ 1 3 1 3 Et donc les deux seules solutions sont 𝑧 = − + 𝑖 = 𝑗 et 𝑧 = − − 𝑖 = 𝑗. 2 2 2 2 SOLUTION DE L’EXERCICE 7.6 MP2I LYCÉE CHAMPOLLION 2022-2023 1 Puisque Re(1 + 𝑖𝜃 ) ≠ 0, cos 𝛼 ≠ 0. Remarque À ce stade, nous avons prouvé que l’ensemble des solutions est inclus dans U. Détails Connaissant la partie réelle et le module, il y a au plus deux choix pour la partie imaginaire.

D’ailleurs, saurez-vous dire à quelle(s) condition(s) sur (𝑟, 𝑎) ∈ R+ × R il n’existe qu’un complexe 𝑧 vérifiant |𝑧 | = 𝑟 et Re(𝑧 ) = 𝑎 ? M.

VIENNEY CORRECTION 3 1 1 Puisque 𝑎 est de module 1, on a 𝑎 = et donc 𝑎 = . 𝑎 𝑎 1 1 Et de même 𝑏 = et 𝑐 = . 𝑐 𝑏 Et donc 1 1 1 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 𝑎 +𝑏 +𝑐 = + + = = . 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 On en déduit que |𝑎 + 𝑏 + 𝑐 | = |𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 | |𝑎𝑏𝑐 | |𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 | = |𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 |. = |𝑎| · |𝑏 | · |𝑐 | Rappel Un complexe et son conjugué ont même module. SOLUTION DE L’EXERCICE 7.7 (𝑒 𝑧 ) 2 + 1 1 = 1 ⇔ = 1 ⇔ (𝑒 𝑧 ) 2 − 𝑒 𝑧 + 1 = 0. 𝑒𝑧 𝑒𝑧 Résolvons donc l’équation 𝑍 2 − 𝑍 + 1 = 0.

Son discriminant vaut.... »