MEMO EQUATIONS DIFFERENTIELLES

« MP 17-18 MEMO EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Equations linéaires du premier ordre 1 II Second ordre à coefficients constants 3 Document de 4 pages 8 mars 2018 MEMO EQUATIONS DIFFERENTIELLES I. I.

Equations linéaires du premier ordre Equations linéaires du premier ordre IK désigne IR ou C. Définition 1 On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre (sous cette écriture elle est parfois dite résolue ou normalisée) toute équation différentielle de la forme (L) y ′ −a(x) y = b(x) où a et b sont deux fonctions à valeurs dans IK définies continues sur l’intervalle ouvert non vide I de IR. La fonction b est appelée second membre de l’équation (L).

Lorsque b est nulle, l’équation différentielle (L) est dite sans second membre ou homogène. Dans le cas général, l’équation différentielle (H) y ′ − a(x) y = 0 est appelée équation homogène associée à (L). Remarque I.1 L’étude d’une équation différentielle de la forme α(x) y′ + β(x) y + γ(x) = 0 se ramène à celle de (L) en se plaçant sur un intervalle I où les fonctions α, β, γ sont continues et α ne s’annule pas. Remarque I.2 Une solution ϕ de (L) sur I est nécessairement de classe C 1 sur I. L’application Λ : C 1 (I, IK) −→ C 0 (I, K) est linéaire et l’équation différentielle (L) s’écrit aussi f −→ f ′ − a f Λ(y) = b. D’après la théorie des équations linéaires, la solution générale de (L) s’obtient en ajoutant à une solution particulière de (L) (en cas d’existence) la solution générale de (H). Remarque I.3 Dans la pratique, avant d’utiliser la méthode de variation de la constante, on peut essayer de ”deviner” une solution particulière simple de (L). Théorème 1 Solution générale de l’équation homogène On considère l’équation différentielle (H) y ′ − a(x) y = 0. Etant donnée A une primitive de a sur I, la solution générale de l’équation (H) est donnée par I −→ IK , λ ∈ IK. x −→ λ eA(x) Ainsi l’ensemble des (fonctions) solutions de (H) est une droite vectorielle. Notamment, pour tout (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) ∈ I × IK, il existe une et une seule solution (I, ϕ) vérifiant ϕ(x0 ) = y0 donnée par x ∀x ∈ I, ϕ(x) = y0 exp a(t) dt x0 Remarque I.4 Une solution non nulle d’une équation différentielle linéaire homogène du premier y′ ordre ne s’annule en aucun point de I, ce qui ”justifie” la ”recette” = a puis ln (|y|) = A + cte y pour les fonctions réelles, ce qui reste correct pour les fonctions complexes. Théorème 2 Solution générale de l’équation complète (Solution particulière de l’équation (L) : méthode de variation de la constante) On considère l’équation différentielle (L) y′ − a(x) y = b(x).

L’ensemble des solutions de (L) sur I est non vide.

Ainsi l’ensemble des (fonctions) solutions de (L) sur I est une droite affine. Notamment, pour tout (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) ∈ I ×IK, le problème de Cauchy associé à la condition initiale (x0 , y0 ) admet une et une seule solution sur I. 1/4 MEMO EQUATIONS DIFFERENTIELLES I.

Equations linéaires du premier ordre Remarque I.5 Principe de superposition Lorsque le second membre de l’équation différentielle (L) est de la forme b = b1 +· · ·+bN et pour tout i, i ∈ [[1, N]], ψi est une solution particulière de l’équation (Li ) y ′ −a(x) y = bi (x), alors ψ1 +· · · ψ N est une solution particulière de (L). Cas particulier important : a constante, a ∈ C et b(x) = eαx P (x) avec P fonction polynôme et α ∈ C. La solution générale de l’équation (H) est donnée par z = λ eax .

On cherche une solution particulière de (L) de la forme ψ : x −→ eαx Q(x), où Q est une fonction polynôme.

On obtient les deux cas : • α = a : deg(Q) = deg(P ) et on identifie • α = a : Q est une primitive de P 2/4 MEMO EQUATIONS DIFFERENTIELLES II.

Second ordre à coefficients constants II.

Second ordre à coefficients constants On considère l’équation.... »