logarithme
Publié le 26/04/2026
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«
ch.
XI Logarithme népérien
1)Définition du logarithme népérien
:
Théorème et définition : Pour tout réel a strictement positif, l'équation e* = a admet
une solution unique, appelé le logarithme népérien de a et notée ln(a) .
La fonction qui, à tout réel x strictement positif.
associe ln(x) est appelée fonction
logarithme népérien.
On note ln:10;+"o[-+ R
x
»
ln(x)
Démonstration : La fonction exp est continue et strictement croissante sur R.
.
**.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires pour
0.
;
,[q(u')=
,,lT_(u')=
les fonctions strictement monotones, Va e]0;+"o[ , 1!a e
La fonction logarithme
népérien est
la
JR
tel que exp(rx): s
fonction réciproque de
la
fonction
exponentielle.
Quels que soient les nombres a strictement positif et b, b =ln(a) ë a - eo
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions
logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite
d'équation Y = a
J=-t
1
a
!1X
Pour tout nombre réel strictement positif
Pour tout nombre réel a, In(e') = q
a
,
sln(o)
-
a
fr[1] : h(e-] ) = -l
\e)
2)Relation fonctionnelle et conséquences
En parriculier.
In(l) =
0.ln(e) = f .
:
Théorème « relation fonctionnelle » :
q*1, que soient les nombres réels strictement positifs a et b, ln(ab) = ln(a) + 1n(ô)
Propriétés : Quels que soient les nombres réels strictement positifs a et b, quel que soit
le nombre entier relatif n,
,[i) :-tn(a) : ln (î)=ln(a)-lnrb):
lr(r"....
»
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