Equations cartésiennes d’une droite
Publié le 17/01/2023
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Equations cartésiennes d’une droite
I) Vecteur directeur d’une droite :
1) Définition
Soit (d) une droite du plan.
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul
la même direction que la droite (d).
qui possède
Exemple 1 :
Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs.
Remarque : Soit
colinéaire au vecteur
un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et
est aussi vecteur directeur de cette droite.
Exemple 2 :
Remarques :
• Deux points distincts quelconques de la droite (d) définissent un vecteur directeur de
cette droite.
• La donnée d’un point A et d’un vecteur
non nul définissent une unique droite (d).
• Deux droites (d) et (d’) sont parallèles si tout vecteur directeur de l’une est aussi
vecteur directeur de l’autre.
II) Equations cartésiennes d’une droite
1) Propriété
Toute droite (d) a une équation de la forme
avec ( ; )
(0 ; 0).
Un vecteur directeur de (d) est
Remarque :
Une
droite
En effet, si
non nul,
(- ; )
(d) admet une infinité d’équations cartésiennes
est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel
est une autre équation de la même droite.
2) Propriété réciproque
L’ensemble des points M (
) vérifiant l’équation :
( ; ) (0 ; 0) est une droite de vecteur directeur ( - ; )
avec
Démonstration :
Soit (d) une droite, A(
Soit M ( ;
,
un point de (d) et
(
) un vecteur directeur de (d).
un point du plan.
« M appartient à (d) » équivaut à :
«
«
(
;
(
)-
) et
(
(
) =0
) sont colinéaires », qui équivaut à :
qui équivaut à :
=0
Posons
;
et
Cette dernière équation s’ écrit
coordonnées (
; ).
Si
0, alors
0,
.
et , vecteur directeur de (d), a pour
équivaut à :
.
Attention l’ensemble des
points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Si
0, alors
0,
équivaut à :
.
Attention l’ensemble des
points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
3) Exemples
Exemple 1 : Déterminer l’équation cartésienne d’une droite, connaissant un point et un
vecteur directeur
Soit (O ; ; ) un repère du plan
Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A( 1 ; -1) et de
vecteur directeur ( -1; 3 ).
Réponse : Soit M un point de d de coordonnées : M ( ; )
Les vecteurs
(
(
)(3) – (
) et
)( -1) = 0
( -1; 3 ) sont colinéaires si, et seulement si,
équivaut à :
équivaut à :
Une équation cartésienne de la droite d est :
Exemple 2 : Déterminer l’équation cartésienne d’une droite connaissant deux points
distincts de la droite
Soit (O ; ; ) un repère du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par les points A (5 ; 13) et
B (10; 23 ).
Réponse : Les points A et B appartiennent à la droite d donc le vecteur
est un
vecteur directeur de cette droite.
(10 – 5 ; 23 – 13), soit
(5 ; 10) en divisant les coordonnées du vecteur
nous obtenons le vecteur .(1 ;....
»
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