Mandelbrot, Les Objets fractals

« MATHÉMATIOUES Hist ire du chou romanesc Les fractales font partie des rares objets mathématiques complexes à avoir dépassé le cadre de la science et à être devenus un sujet de fascination pour le plus grand nombre. Mandelbrot, fondateur de cette théorie, revient dans son livre sur le chemin qui l'a mené à ces« monstres» mathématiques. ! 1 1 0 !..'.ensemble de Mandelbrot est un ensemble de points du plan complexe nommé ainsi en l'honneur de l'inventeur du terme « fractal » par le mathématicien Adrien Douady. 54 , t ► MATHÉMATIOUES BE:--011 MA DELBROT • Après avoir étudié pendant une vingta ine d'années les « monstres » mathématiques, le mathématicien Benoît Mandelbrot crée le terme « fractale » pour les désigner, en en énonçant les propriétés communes.

En 1982, il rassemble ses travau x dans un livre à destination du grand public intitulé en français Les Objets fractals.

Forme, hasard et dimension .

Alliant une vaste érudition à un vrai talent de vulgarisateur, Mandelbrot permet, avec ce prem ier essai, aux non-spécialistes de pénétrer le monde étrange et fasc inant de la géométrie fractale. LA NAISSANCE DES FRACTALES décrire ces objets aux formes extrêmement irrégulières, il met au point une nouvelle géométrie de la nature, qui incorpore les acquis de Felix Hausdorff sur les dimensions fractionnaires et les résultats de son maître Paul Lévy sur le mouvement brownien.

Mandelbrot n'est certes pas l'inventeur des dimensions fraction naires, mais il est bien celui du concept de fractale, qui transcende le cadre mathématique.

La communauté, d'abord sceptique, finira par accepter cette nouvelle géométrie de la nature. Le terme« fractale» est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 197 4 à partir de la racine latine fractus , qui signifie« brisé » ou« irrégulier ».

De nombreux phénomènes naturels, comme le tracé des lignes de certaines côtes maritimes ou l'aspect du chou romanesco, possèdent, en première approximation, des propriétés fractales.

Mandelbrot rassemble dans son premier essai de vulgarisation, intitulé Les Objets fractals.

Forme, hasard et dimension , les résultats de ses travaux effectués au centre de recherche Thomas J. Watson d'IBM à Yorktown Heights (États-Unis) sur les objets fractals.

Ce livre paraît aux États-Unis en 1982, et en France deux ans plus tard aux éditions Flammarion.

Outre la fascination que nous pouvons ressentir pour ces objets mathématiques étranges, l'intérêt de ce petit livre réside dans le fait que c'est le fondateur lui-même de cette théorie qui revient pour nous sur le processus qui l'a conduit à construire de toutes pièces la notion de fractale. LA DIFFICULTÉ D'UNE DÉFINITION Comme tout concept, une « fractale » n'est pas simple à défin ir.

Pendant un certa in temps, la communauté mathématique a pressé Mandelbrot d'en donner une définition mathématique.

Il s'y est longtemps refusé. Il ne lui semblait en effet pas possible, ni même souhaitable, d'englober dans une même définition les objets mathématiques et les objets « réels » qu 'ils modélisent.

Disons que la formulation la moins réductrice serait qu'un objet fractal présente, sur un nombre suffisant d'échelles, une certaine autosimilarité ou auto-affinité, qu 'elle soit déterministe ou statistique. Mandelbrot donnera tout de même une sorte de définition, utilisant la notion de dimension, mais son coup de génie restera d'avoir.... »