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Recherche effectuée pour : geometre

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43 commentaires trouvées

DESCARTES

De là se conclut avec évidence la raison pour laquelle l'arithmétique et la géométrie sont bien plus certaines que toutes les autres disciplines : c'est qu'elles seules traitent d'un objet si pur et si simple qu'elles n'admettent absolument rien que l'expérience ait rendu incertain, et qu'elles consistent tout entières à tirer des conséquences par voie de déduction rationnelle. Elles sont ainsi les plus faciles et les plus claires de toutes, et elles ont un objet tel que celui que nous exigeons, puisqu'en elles, sauf inadvertance, il semble que l'homme puisse difficilement se tromper. Il ne faut pas s'étonner pourtant si beaucoup d'esprits se portent spontanément plutôt vers d'autres disciplines ou vers la philosophie : cela vient, en effet, de ce que chacun se donne plus hardiment licence de jouer les devins dans un domaine obscur que dans un domaine évident, et qu'il est bien plus facile d'entrevoir quelque chose à propos d'une question quelconque, que de parvenir sur une seule, si facile soit-elle, à la vérité elle-même. De tout cela il faut maintenant conclure, non point certes qu'on ne doive étudier que l'arithmétique et la géométrie, mais seulement que ceux qui cherchent le droit chemin de la vérité ne doivent s'occuper d'aucun objet à propos duquel ils ne puissent obtenir une certitude égale aux démonstrations de l'arithmétique et de la géométrie. DESCARTES

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DESCARTES

Les hommes sont les proies d'une si aveugle curiosité qu'ils conduisent souvent leur esprit par des chemins inconnus, et sans aucune raison d'espérer, mais seulement pour courir leur chance d'y trouver par hasard ce qu'ils cherchent ; comme quelqu'un qui brûlerait d'un désir si brutal de découvrir un trésor, qu'il ne cesserait de courir les rues ça et là, cherchant si par hasard il n'en trouverait pas un qu'un voyageur aurait perdu. C'est ainsi que travaillent presque tous les chimistes, la plupart des géomètres, et plus d'un philosophe ; et certes je ne nie point que parfois ils ne vagabondent avec assez de bonne fortune pour trouver quelque vérité ; je n'admets pas pour autant qu'ils en soient plus habiles, mais seulement plus chanceux. Il vaut cependant bien mieux ne jamais songer à chercher la vérité sur quelque objet que ce soit, que le faire sans méthode : car il est très certain que ces recherches désordonnées et ces méditations obscures troublent la lumière naturelle et aveuglent l'esprit ; et tous ceux qui s'habituent ainsi à marcher dans les ténèbres affaiblissent tant leur vue que par la suite ils ne peuvent plus supporter la lumière du jour ; l'expérience aussi le confirme, puisque nous voyons très souvent ceux qui ne se sont jamais souciés d'étudier porter des jugements bien plus solides et bien plus clairs sur ce qui se présente à eux, que ceux qui ont passé tout leur temps dans les écoles. DESCARTES

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DESCARTES

Lorsque nous avons la première fois aperçu en notre enfance une figure triangulaire tracée sur le papier, cette figure n'a pu nous apprendre comme il fallait concevoir le triangle géométrique, parce qu'elle ne le représentait pas mieux qu'un mauvais crayon une image parfaite. Mais, d'autant que l'idée véritable du triangle était déjà en nous, et que notre esprit la pouvait plus aisément concevoir que la figure moins simple ou plus composée d'un triangle peint, de là vient qu'ayant vu cette figure composée nous ne l'avons pas conçue elle-même, mais plutôt le véritable triangle. Tout ainsi que quand nous jetons les yeux sur une carte où il y a quelques traits qui sont tracés et arrangés, de telle sorte qu'ils représentent la face d'un homme, alors cette vue n'excite pas tant en nous l'idée de ces mêmes traits que celle d'un homme : ce qui n'arriverait pas ainsi si la face d'un homme ne nous était connue d'ailleurs, et si nous n'étions plus accoutumés à penser à elle que non pas à ses traits, lesquels assez souvent même nous ne saurions distinguer les uns des autres quand nous en sommes un peu éloignés. Ainsi, certes, nous ne pourrions jamais connaître le triangle géométrique par celui que nous voyons tracé sur le papier, si notre esprit n'en avait eu l'idée d'ailleurs. DESCARTES

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DESCARTES

[...] Lorsque nous avons la première fois aperçu en notre enfance une figure triangulaire tracée sur le papier, cette figure n'a pu nous apprendre comme il fallait concevoir le triangle géométrique, parce qu'elle ne le représentait pas mieux qu'un mauvais crayon une image parfaite. Mais, d'autant que l'idée véritable du triangle était déjà en nous, et que notre esprit la pouvait plus aisément concevoir que la figure moins simple ou plus composée d'un triangle peint, de là vient qu'ayant vu cette figure composée nous ne l'avons pas conçue elle-même, mais plutôt le véritable triangle. Tout ainsi que quand nous jetons les yeux sur une carte où il y a quelques traits qui sont tracés et arrangés, de telle sorte qu'ils représentent la face d'un homme, alors cette vue n'excite pas tant en nous l'idée de ces mêmes traits que celle d'un homme : ce qui n'arriverait pas ainsi si la face d'un homme ne nous était connue d'ailleurs, et si nous n'étions plus accoutumés à penser à elle que non pas à ses traits, lesquels assez souvent même nous ne saurions distinguer les uns des autres quand nous en sommes un peu éloignés. Ainsi, certes, nous ne pourrions jamais connaître le triangle géométrique par celui que nous voyons tracé sur le papier, si notre esprit n'en avait eu l'idée d'ailleurs. DESCARTES

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DESCARTES

Ainsi, à cause que nos sens nous trompent quelquefois, je voulus supposer qu'il n'y avait aucune chose qui fût telle qu'ils nous la font imaginer ; et pour ce qu'il y a des hommes qui se méprennent en raisonnant, même touchant les plus simples matières de géométrie, et y font des paralogismes, jugeant que j'étais sujet à faillir autant qu'aucun autre, je rejetai comme fausses toutes les raisons que j'avais prises auparavant pour démonstrations ; et enfin considérant que toutes les mêmes pensées que nous avons, étant éveillés, nous peuvent aussi venir quand nous dormons sans qu'il y en ait aucune pour lors qui soit vraie, je me résolus de feindre que toutes les choses qui m'étaient jamais entrées en l'esprit n'étaient non plus vraies que les illusions de mes songes. Mais aussitôt après je pris garde que, pendant que je voulais ainsi penser que tout était faux, il fallait nécessairement que moi qui le pensais fusse quelque chose ; et remarquant que cette vérité : je pense, donc je suis, était si ferme et si assurée que toutes les plus extravagantes suppositions des Sceptiques n'étaient pas capables de l'ébranler, je jugeais que je pouvais la recevoir sans scrupule pour le premier principe de la Philosophie que je cherchais. Puis examinant avec attention ce que j'étais, et voyant que je pouvais feindre que je n'avais aucun corps, et qu'il n'y avait aucun monde ni aucun lieu où je fusse ; mais que je ne pouvais pas feindre pour cela que je n'étais point ; et qu'au contraire de cela même que je pensais à douter de la vérité des autres choses il suivait très évidemment et très certainement que j'étais ; au lieu que si j'eusse seulement cessé de penser, encore que tout le reste de ce que j'avais jamais imaginé eût été vrai, je n'avais aucune raison de croire que j'eusse été, je connus de là que j'étais une substance dont toute l'essence ou la nature n'est que de penser, et qui pour être n'a besoin d'aucun lieu ni ne dépend d'aucune chose matérielle, en sorte que ce moi, c'est-à-dire l'âme par laquelle je suis ce que je suis, est entièrement distincte du corps, et même qu'elle est plus aisée à connaître que lui, et qu'encore qu'il ne fût point, elle ne laisserait pas d'être tout ce qu'elle est. DESCARTES

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DESCARTES

Par là on voit clairement pourquoi l'arithmétique et la géométrie sont beaucoup plus certaines que les autres sciences : c'est que seules elles traitent d'un objet assez pur et simple pour n'admettre absolument rien que l'expérience ait rendu incertain, et qu'elles consistent tout entières en une suite de conséquences déduites par raisonnement. Elles sont donc les plus faciles et les plus claires de toutes, et leur objet est tel que nous le désirons, puisque, sauf par inattention, il semble impossible à l'homme d'y commettre des erreurs. Et cependant il ne faut pas s'étonner si spontanément beaucoup d'esprits s'appliquent plutôt à d'autres études ou à la philosophie : cela vient, en effet, de ce que chacun se donne plus hardiment la liberté d'affirmer des choses par divination dans une question obscure que dans une question évidente, et qu'il est bien plus facile de faire des conjectures sur une question quelconque que de parvenir à la vérité même sur une question, si facile qu'elle soit. De tout cela on doit conclure, non pas, en vérité, qu'il ne faut apprendre que l'arithmétique et la géométrie, mais seulement que ceux qui cherchent le droit chemin de la vérité ne doivent s'occuper d'aucun objet, dont ils ne puissent avoir une certitude égale à celle des démonstrations de l'arithmétique et de la géométrie. DESCARTES

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Platon

— Tu n'ignores pas, je pense, que ceux qui s'occupent de géométrie, d'arithmétique et d'autres sciences du même genre supposent le pair et l'impair, les figures, trois espèces d'angles et d'autres choses, analogues suivant l'objet de leurs recherches : qu'ils les traitent comme choses connues, et que, quand ils ont fait des hypothèses, ils estiment qu'ils n'ont plus à en rendre aucun compte ni à eux-mêmes, ni aux autres, attendu qu'elles sont évidentes à tous les esprits; qu'enfin, partant de ces hypothèses et passant à tous les échelons, ils aboutissent par voie de conséquence à la démonstration qu'ils s'étaient mis en tête de chercher. — Oui, dit-il, cela, je le sais. — Par conséquent, tu sais aussi qu'il se servent de figures visibles et qu'ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point à elles qu'ils pensent, mais à d'autres auxquelles celles-ci ressemblent. Par exemple, c'est du carré en soi, de la diagonale en soi qu'ils raisonnent, et non de la diagonale telle qu'ils la tracent, et il faut en dire autant de toutes les autres figures. Toutes ces figures qu'ils modèlent ou dessinent, qui portent des ombres et produisent des images dans l'eau, ils les emploient comme si c'était aussi des images, pour arriver à voir ces objets supérieurs qu'on n'aperçoit que par la pensée. Platon

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Platon

Tu veux établir qu'il y a plus de certitude dans la contemplation de l'être et de l'intelligible obtenue par la connaissance dialectique que dans celle obtenue par ce qu'on appelle les sciences à qui les hypothèses servent de principes. Dans ce dernier cas, c'est forcément de la connaissance discursive et non de la connaissance sensible que dépend la contemplation, mais parce que l'examen ne remonte pas au principe mais s'appuie sur des hypothèses, il ne te semble pas y avoir intellection de ces objets, bien qu'avec le principe ils soient intelligibles. Il me semble que tu appelles connaissance discursive la démarche de pensée des géomètres et autres savants, mais non pas intellection, parce que la connaissance discursive est en quelque sorte intermédiaire entre l'opinion et l'intellection. Platon

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KANT

L'art en tant qu'habileté humaine est distinct de la science (le savoir-faire est distinct du savoir), comme une faculté pratique est distincte d'une faculté théorique, comme la technique de la théorie (de même l'arpentage de la géométrie). C'est pourquoi précisément on ne qualifiera pas d'art ce qu'on est en mesure de faire dès qu'il s'agit de savoir ce qui doit être accompli, et que donc l'on se contente de connaître suffisamment l'effet recherché. Ce pour l'exécution de quoi nous manquons de l'habileté immédiate, bien qu'on en ait la connaissance la plus complète, cela seul, comme tel, s'appelle art. Peter Camper dit très exactement comment devrait être faite la meilleure chaussure, mais il était certainement incapable d'en faire une. L'art se distingue aussi de l'artisanat; l'art est dit libéral, l'artisanat peut être appelé art mercantile. On considère le premier comme s'il ne pouvait être orienté par rapport à une fin qu'à condition d'être un jeu, c'est-à-dire une activité agréable en soi; le second comme un travail, c'est-à-dire comme une activité en soi désagréable, attirante par ses seuls effets. KANT

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KANT

La géométrie est une science qui détermine synthétiquement, et pourtant a priori, les propriétés de l'espace. Que doit donc être la représentation de l'espace pour qu'une telle connaissance en soit possible? Il faut qu'il soit originairement une intuition ; car d'un simple concept, on ne peut tirer des propositions qui dépassent le concept, comme cela arrive pourtant en géométrie. Mais, cette intuition doit se trouver en nous a priori, c'est-à-dire antérieurement à toute perception d'un objet, et, par conséquent, être intuition pure et non empirique. En effet, les propositions géométriques, par exemple : l'espace n'a que trois dimensions, sont toutes apodictiques, c'est-à-dire qu'elles impliquent la conscience de leur nécessité; elles ne peuvent donc être des jugements empiriques ou d'expérience, ni en être conclues. Mais comment peut-il y avoir dans l'esprit une intuition externe qui précède les objets mêmes, et dans laquelle leur concept peut être déterminé a priori? Cela ne peut évidemment arriver qu'autant qu'elle a son siège dans le sujet comme la propriété formelle qu'il a d'être affecté par des objets et d'en recevoir par là une représentation immédiate, c'est-à-dire une intuition, par conséquent seulement comme forme du sens externe en général. KANT

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KANT

La théorie empirique de l'âme doit rester éloignée du rang de science de la nature à proprement parler, premièrement parce que les mathématiques ne sont pas applicables aux phénomènes du sens interne et à leurs lois, à moins de vouloir appliquer exclusivement la loi de continuité à l'écoulement des changements internes de ce sens; mais ce serait là une extension de connaissance qui, en comparaison avec l'extension qu'apportent les mathématiques à la théorie des corps, correspondrait à à peu près des propriétés de la ligne droite comparée à la géométrie tout entière. Car l'intuition interne pure, dans laquelle les phénomènes de l'âme doivent se construire, est le temps qui n'a qu'une dimension. D'autre part, la théorie empirique de l'âme ne pourra même jamais se rapprocher de la chimie comme art de décomposition systématique ou comme théorie expérimentale; car la diversité de l'observation interne ne se laisse décomposer que grâce à une simple distinction de pensée, qui ne permet pas de maintenir les éléments décomposés et de recomposer à volonté; il est encore moins possible de soumettre un autre sujet pensant à des expériences appropriées à notre but, et même l'observation à elle seule altère et transforme déjà l'état de l'objet observé. La théorie de l'âme ne pourra jamais devenir plus qu'une théorie historique de la nature portant sur le sens interne, de la manière la plus systématique possible, mais non une science de l'âme, ni même une théorie psychologique expérimentale. KANT

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KANT

Newton pouvait non seulement pour lui, mais pour tout autre, décrire clairement, et déterminer pour ses successeurs, les démarches qu'il eut à faire depuis les premiers éléments de la géométrie jusqu'à ses grandes et profondes découvertes ; mais aucun Homère, aucun Wieland ne pourrait montrer comment ses idées riches en poésie et pourtant lourdes de pensées surgissent et s'assemblent dans son cerveau, car lui-même ne le sait pas et il ne peut donc l'enseigner à un autre. En matière de science par conséquent il n'y a entre le plus grand inventeur et l'imitateur, l'apprenti le plus laborieux, qu'une différence de degrés, mais il y a une différence spécifique entre lui et celui que la nature a doué pour les beaux-arts ; on ne veut pas pourtant diminuer ces grands hommes auxquels l'humanité doit tout, par rapport à ceux qui par leur talent pour les beaux-arts sont des favoris de la nature. Le talent des premiers consiste à faire progresser toujours davantage les connaissances, et les avantages pratiques qui en dépendent, comme à instruire les autres dans ces mêmes connaissances et c'est là une grande supériorité sur ceux qui méritent l'honneur d'être appelés des génies ; pour ceux-ci l'art s'arrête quelque part ; il a ses limites qu'il ne peut dépasser, qu'il a sans doute atteintes depuis longtemps et qui ne peuvent plus être reculées ; de plus une telle maîtrise ne peut se communiquer, elle est dispensée directement à chacun par la main de la nature ; elle disparaît donc avec l'un jusqu'à ce que la nature confère à un autre les mêmes dons ; et il ne reste plus à celui-ci que d'avoir un modèle pour laisser se manifester de semblable manière le talent dont il a conscience. KANT

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KANT

Ainsi on peut bien apprendre tout ce que Newton a exposé dans son oeuvre immortelle, les Principes de la philosophie de la nature, si puissant qu'ait dû être le cerveau nécessaire pour ces découvertes; en revanche on ne peut apprendre à composer des poèmes d'une manière pleine d'esprit, si précis que puissent être tous les préceptes pour l'art poétique, et si excellents qu'en soient les modèles. La raison en est que Newton pouvait rendre parfaitement clair et déterminé non seulement pour lui-même, mais aussi pour tout autre et pour ses successeurs, tous les moments de la démarche qu'il dut accomplir, depuis les premiers éléments de la géométrie jusqu'à ses découvertes les plus importantes et les plus profondes; mais aucun Homère ou aucun Wieland ne peut montrer comment ses idées riches de poésie et toutefois en même temps grosses de pensées surgissent et s'assemblent dans son cerveau, parce qu'il ne le sait pas lui-même et aussi ne peut l'enseigner à personne. Dans le domaine scientifique ainsi, le plus remarquable auteur de découvertes ne se distingue que par le degré de l'imitateur et de l'écolier le plus laborieux, tandis qu'il est spécifiquement différent de celui que la nature a doué pour les beaux-arts. KANT

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D'où il naît une autre question si toutes les vérités dépendent de l'expérience, c'est-à-dire de l'induction et des exemples, ou s'il y en a qui ont encore un autre fondement. Car si quelques événements se peuvent prévoir avant toute épreuve qu'on en ait faite, il est manifeste que nous y contribuons quelque chose du nôtre. Les sens, quoique nécessaires pour toutes nos connaissances actuelles, ne sont point suffisants pour nous les donner toutes, puisque les sens ne donnent jamais que des exemples, c'est-à-dire des vérités particulières ou individuelles. Or tous les exemples qui confirment une vérité générale, de quelque nombre qu'ils soient, ne suffisent pas pour établir la nécessité universelle de cette même vérité, car il ne suit point que ce qui est arrivé arrivera de même. Par exemple les Grecs et Romains et tous les autres peuples de la terre connue aux anciens ont toujours remarqué qu'avant le décours de 24 heures, le jour se change en nuit, et la nuit en jour. Mais on se serait trompé si l'on avait cru que la même règle s'observe partout ailleurs, puisque depuis on a expérimenté le contraire dans le séjour de Nova Zembla (1). Et celui-là se tromperait encore qui croirait que, dans nos climats au moins, c'est une vérité nécessaire et éternelle qui durera toujours, puisqu'on doit juger que la Terre et le Soleil même n'existent pas nécessairement, et qu'il y aura peut-être un temps où ce bel astre ne sera plus, au moins dans la présente forme, ni tout son système. D'où il paraît que les vérités nécessaires, telles qu'on les trouve dans les mathématiques pures et particulièrement dans l'arithmétique et dans la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende point des exemples, ni par conséquence du témoignage des sens, quoique sans les sens on ne se serait jamais avisé d'y penser. C'est ce qu'il faut bien distinguer, et c'est ce qu'Euclide a si bien compris, qu'il démontre souvent par la raison ce qui se voit assez par l'expérience et par les images sensibles. LEIBNIZ

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D'où il naît une autre question si toutes les vérités dépendent de l'expérience, c'est-à-dire de l'induction et des exemples, ou s'il y en a qui ont encore un autre fondement. Car si quelques événements se peuvent prévoir avant toute épreuve qu'on en ait faite, il est manifeste que nous y contribuons quelque chose du nôtre. Les sens, quoique nécessaires pour toutes nos connaissances actuelles, ne sont point suffisants pour nous les donner toutes, puisque les sens ne donnent jamais que des exemples, c'est-à-dire des vérités particulières ou individuelles. Or tous les exemples qui confirment une vérité générale, de quelque nombre qu'ils soient, ne suffisent pas pour établir la nécessité universelle de cette même vérité, car il ne suit point que ce qui est arrivé arrivera de même. Par exemple les Grecs et Romains et tous les autres peuples de la terre connue aux anciens ont toujours remarqué qu'avant le décours de 24 heures, le jour se change en nuit, et la nuit en jour. Mais on se serait trompé si l'on avait cru que la même règle s'observe partout ailleurs, puisque depuis on a expérimenté le contraire dans le séjour de Nova Zembla (1). Et celui-là se tromperait encore qui croirait que, dans nos climats au moins, c'est une vérité nécessaire et éternelle qui durera toujours, puisqu'on doit juger que la Terre et le Soleil même n'existent pas nécessairement, et qu'il y aura peut-être un temps où ce bel astre ne sera plus, au moins dans la présente forme, ni tout son système. D'où il paraît que les vérités nécessaires, telles qu'on les trouve dans les mathématiques pures et particulièrement dans l'arithmétique et dans la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende point des exemples, ni par conséquence du témoignage des sens, quoique sans les sens on ne se serait jamais avisé d'y penser. C'est ce qu'il faut bien distinguer, et c'est ce qu'Euclide a si bien compris, qu'il démontre souvent par la raison ce qui se voit assez par l'expérience et par les images sensibles. LEIBNIZ

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Les enfants sont fidèles à leur règle, alors que les hommes ne le sont pas; en effet, devenus vigoureux et entêtés, ils en appellent de la coutume à la raison, et de la raison à la coutume, comme cela sert leur cause: récusant la coutume quand leur intérêt le requiert, et se dressant contre la raison chaque fois que la raison est contre eux. Et c'est pour cela que la doctrine du juste et de l'injuste est perpétuellement disputée, tant par la plume que par l'épée, alors que la doctrine des lignes et des figures (1) ne l'est pas; dans ce domaine en effet, quelle peut être la vérité, les hommes n'en ont cure (2), car elle ne contrecarre l'ambition, le profit ou la concupiscence (3) de personne. Mais je ne doute pas que s'il eût été contraire au droit de dominer de quelqu'un, ou aux intérêts de ceux qui dominent, que les trois angles d'un triangle soient égaux à deux angles d'un carré, cette doctrine eût été sinon controversée, du moins étouffée, par la mise au bûcher de tous les livres de géométrie, pour autant que cela eût dépendu de celui à qui cela importait. HOBBES

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Le monde, laissé à lui-même, obéit à des lois fatales. Dans des conditions déterminées, la matière se comporte de façon déterminée, rien de ce qu'elle fait n'est imprévisible : si notre science était complète et notre puissance de calculer infinie, nous saurions par avance tout ce qui se passera dans l'univers matériel inorganisé, dans sa masse et dans ses éléments, comme nous prévoyons une éclipse de Soleil ou de Lune. Bref, la matière est inertie, géométrie, nécessité. Mais avec la vie apparaît le mouvement imprévisible et libre. L'être vivant choisit ou tend à choisir. Son rôle est de créer. Dans un monde où tout le reste est déterminé, une zone d'indétermination l'environne. [...] Conscience et matérialité se présentent donc comme des formes d'existence radicalement différentes, et même antagonistes, qui adoptent un modus vivendi et s'arrangent tant bien que mal entre elles. La matière est nécessité, la conscience est liberté ; mais elles ont beau s'opposer l'une à L'autre, la vie trouve moyen de les réconcilier. C'est que la vie est précisément la liberté s'insérant dans la nécessité et la tournant à son profit. Henri BERGSON.

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Il n'est point de connaissance qui soit superflue et inutile de façon absolue et à tous égards, encore que nous ne soyons pas toujours à même d'en apercevoir l'utilité. — C'est par conséquent une objection aussi mal avisée qu'injuste que les esprits superficiels adressent aux grands hommes qui consacrent aux sciences des soins laborieux lorsqu'ils viennent demander : à quoi cela sert-il ? On ne doit en aucun cas poser une telle question quand on prétend s'occuper de science. A supposer qu'une science ne puisse apporter d'explication que sur un quelconque objet possible, de ce seul fait son utilité serait déjà suffisante. Toute connaissance logiquement parfaite a toujours quelque utilité possible : même si elle nous échappe jusqu'à présent, il se peut que la postérité la découvre. — Si en cultivant les sciences on n'avait jamais mesuré l'utilité qu'au profit matériel qu'on pourrait retirer, nous n'aurions pas l'arithmétique et la géométrie. Aussi bien notre intelligence est ainsi conformée qu'elle trouve satisfaction dans la simple connaissance, et même une satisfaction plus grande que dans l'utilité qui en résulte. Emmanuel KANT.

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